সুকান্ত ঘোষ RSS feed

কম জেনে লেখা যায়, কম বুঝেও!

আরও পড়ুন...
সাম্প্রতিক লেখালিখি RSS feed
  • জীবন যেরকম
    কিছুদিন আগে ফেসবুকে একটা পোষ্ট করেছিলাম “সাচ্‌ ইজ লাইফ” বলে। কেন করেছিলাম সেটা ঠিক ব্যখ্যা করে বলতে পারব না – আসলে গত দুই বছরে ব্যক্তিগত ভাবে যা কিছুর মধ্যে দিয়ে গেছি তাতে করে কখনও কখনও মনে হয়েছে যে হয়ত এমন অভিজ্ঞতার মুখোমুখি মানুষ চট করে হয় না। আমি যেন ...
  • মদ্যপুরাণ
    আমাদের ভোঁদাদার সব ভাল, খালি পয়সা খরচ করতে হলে নাভিশ্বাস ওঠে। একেবারে ওয়ান-পাইস-ফাদার-মাদা...
  • বার্সিলোনা - পর্ব ৩
    ঊনবিংশ শতকের শেষে বা বিংশশতকের প্রথমে বার্সিলোনার যেসব স্থাপত্য তৈরী হয়েছে , যেমন বসতবাটি ক্যাথিড্রাল ইত্যাদি , যে সময়ের সেলিব্রিটি স্থপতি ছিলেন এন্টোনি গাউদি, সেগুলো মধ্যে একটা অপ্রচলিত ব্যাপার আছে। যেমন আমরা বিল্ডিং বলতে ভাবি কোনো জ্যামিতিক আকার। যেমন ...
  • মাসকাবারি বইপত্তর
    অত্যন্ত লজ্জার সাথে স্বীকার করি, আমি রিজিয়া রহমানের নামও জানতাম না। কখনও কোনও আলোচনাতেও শুনি নি। এঁর নাম প্রথম দেখলাম কুলদা রায়ের দেয়ালে, রিজিয়া রহমানের মৃত্যুর পরে অল্প কিছু কথা লিখেছেন। কুলদা'র সংক্ষিপ্ত মূল্যায়নটুকু পড়ে খুবই আগ্রহ জাগে, কুলদা তৎক্ষণাৎ ...
  • ২১ আগস্ট গ্রেনেড হামলা... বাংলাদেশের রাজনীতির গতিপথ পরিবর্তন হওয়ার দিন
    বিএনপি এখন অস্তিত্ব সংকটে আছে। কিন্তু কয়েক বছর আগেও পরিস্থিতি এমন ছিল না। ক্ষমতার তাপে মাথা নষ্ট হয়ে গিয়েছিল দলটার। ফলাফল ২০০৪ সালের ২১ আগস্টে তৎকালীন বিরোধীদলীয় নেত্রী শেখ হাসিনাকে গ্রেনেড মেরে হত্যার চেষ্টা। বিরোধীদলের নেত্রীকে হত্যার চেষ্টা করলেই ...
  • তোমার বাড়ি
    তোমার বাড়ি মেঘের কাছে, তোমার গ্রামে বরফ আজো?আজ, সীমান্তবর্তী শহর, শুধুই বেয়নেটে সাজো।সারাটা দিন বুটের টহল, সারাটা দিন বন্দী ঘরে।সমস্ত রাত দুয়ারগুলি অবিরত ভাঙলো ঝড়ে।জেনেছো আজ, কেউ আসেনি: তোমার জন্য পরিত্রাতা।তোমার নমাজ হয় না আদায়, তোমার চোখে পেলেট ...
  • বার্সিলোনা - পর্ব ২
    বার্সিলোনা আসলে স্পেনের শহর হয়েও স্পেনের না। উত্তর পুর্ব স্পেনের যেখানে বার্সিলোনা, সেই অঞ্চল কে বলা হয় ক্যাটালোনিয়া। স্বাধীনদেশ না হয়েও স্বশাসিত প্রদেশ। যেমন কানাডায় কিউবেক। পৃথিবীর প্রায় সব দেশেই মনে হয় এরকম একটা জায়গা থাকে, দেশি হয়েও দেশি না। ...
  • বার্সিলোনা - পর্ব ১
    ঠিক করেছিলাম আট-নয়দিন স্পেন বেড়াতে গেলে, বার্সিলোনাতেই থাকব। বেড়ানোর সময়টুকুর মধ্যে খুব দৌড় ঝাঁপ, এক দিনে একটা শহর দেখে বা একটা গন্তব্যের দেখার জায়গা ফর্দ মিলিয়ে শেষ করে আবার মাল পত্তর নিয়ে পরবর্তী গন্তব্যের দিকে ভোর রাতে রওনা হওয়া, আর এই করে ১০ দিনে ৮ ...
  • লাল ঝুঁটি কাকাতুয়া
    -'একটা ছিল লাল ঝুঁটি কাকাতুয়া।আর ছিল একটা নীল ঝুঁটি মামাতুয়া।'-'এরা কারা?' মেয়েটা সঙ্গে সঙ্গে চোখ বড়ো করে অদ্ভুত লোকটাকে জিজ্ঞেস করে।-'আসলে কাকাতুয়া আর মামাতুয়া এক জনই। ওর আসল নাম তুয়া। কাকা-ও তুয়া বলে ডাকে, মামা-ও ডাকে তুয়া।'শুনেই মেয়েটা ফিক করে হেসে ...
  • স্টার্ট-আপ সম্বন্ধে দুচার কথা যা আমি জানি
    স্টার্ট-আপ সম্বন্ধে দুচার কথা যা আমি জানি। আমি স্টার্ট-আপ কোম্পানিতে কাজ করছি ১৯৯৮ সাল থেকে। সিলিকন ভ্যালিতে। সময়ের একটা আন্দাজ দিতে বলি - গুগুল তখনও শুধু সিলিকন ভ্যালির আনাচে-কানাচে, ফেসবুকের নামগন্ধ নেই, ইয়াহুর বয়েস বছর চারেক, অ্যামাজনেরও বেশি দিন হয়নি। ...


বইমেলা হোক বা নাহোক চটপট নামিয়ে নিন রঙচঙে হাতে গরম গুরুর গাইড ।

গণিত, সৌন্দর্য্য ও অমরত্ব

সুকান্ত ঘোষ

আমি গণিতবিদ নই – কিন্তু গণিত ভালোবাসি। গণিতজ্ঞদের দিকে তাকাই সম্ভ্রমের চোখে – আর ঠিক এই কারণেই পাশের গ্রামে ফিরোজ, বন্ধু সুমন এরা ছিল আমার ঈর্ষা মিশ্রিত বিষ্ময়ের পাত্র। তাই এই লেখা শুরু করার আগেই সাফাইটা গেয়ে দিই – বলে রাখি যে এই প্রবন্ধ কোন নতুন তথ্য দেবার জন্য নয়, নয় কোন গালভরা গবেষণার গল্প বলার জন্য। এটা নিছকই সেই সব তথ্য, ঘটনা আর নাম সমৃদ্ধ, যা অনেক সময় আমরা খেয়াল করি না। অর্থাৎ ধরুন আপনি নিজের জামাটি রোজ পড়েন, কিন্তু সেই জামায় কয়টা বোতাম আছে তা কখনো খেয়াল করেছেন কি? এই লেখাও তেমন হবে আর কি! কিছু বিষয় নিয়ে প্রবন্ধ লিখতে গেলে ভুগতে হয় তথ্যে অপ্রতুলতায় – কিন্তু গণিত নিয়ে লিখতে গেলে ব্যাপারটা উলটো। এখানে তথ্যের প্রাচুর্য্য এতো বেশী যে সংক্ষেপে কিছু লেখাই মুশকিল! প্রচুর বই, রিপোর্ট, জার্নাল ছাড়াও তো আজকাল হাতের কাছে রয়েছে ইন্টারনেট! তাই অনুমান করছি যে এখানে যা লিখব তার অনেক কিছুই আপনারা ইন্টারনেট থেকে যাচাই করে নিতে পারবেন। অনেকের মত আমারও ছিল গণিতবিদদের জীবন নিয়ে একটা কৌতূহল – কেমন করে তাঁরা কাজ করেন, বাস্তবের সাথে তাঁদের যোগ কতখানি বা তাঁদের গবেষণা আমাদের জীবনের সাথে কতটা সরাসরি যুক্ত – এই সব প্রশ্ন ভাবতে ভাবতেই এই লেখার সূত্রপাত।

কোনখান থেকে শুরু করবে বুঝতে পারছি না। সমস্ত বিজ্ঞানীদের মধ্যে যাঁরা গণিতের সাথে যুক্ত তাঁদের নিয়ে এত উপকথা, এত রটনা যে তার থেকে কোনটা সত্যি আর কোনটা মিথ্যে খুঁজে বের করাই মুশকিল। তাহলে আসুন একটা গল্প দিয়েই শুরু করা যাক।

এক মনোরম গ্রীষ্মের সকালে তিন বন্ধু মিলে স্কটল্যান্ডের এক গ্রামের ধার দিয়ে ট্রেনে করে যাচ্ছিলেন। বন্ধুদের মধ্যে একজন ছিলেন জ্যোর্তিবিজ্ঞানী, এক জন পদার্থবিদ ও অপর জন গণিতজ্ঞ। হঠাৎ ট্রেনের পাশে মাঠে চরতে থাকা একটি কালো ভেড়াকে দেখে জ্যোর্তিবিজ্ঞানী বলে উঠলেন – কি আশ্চর্য!, স্কটল্যান্ডের সব ভেড়াই দেখি কালো। এই কথার প্রতিবাদ করে পদার্থবিদ বলে উঠলেন – না, না – স্কটল্যাণ্ডের কেবল কিছু ভেড়ার রঙ কালো। এইসব শুনে তাঁদের গণিতজ্ঞ বন্ধু আকাশের দিকে তাকিয়ে গম্ভীরভাবে বলে উঠলেন – এই ভেড়াটা দেখে আমরা কেবল এই সিদ্ধান্তে আসতে পারি যে, স্কটল্যান্ডে একটা মাঠ আছে ন্যূনতম পক্ষে, সেই মাঠে একটা ভেড়া চড়ে বেড়াচ্ছে, যেই ভেড়ার একটি দিক ন্যূনতম পক্ষে কালো।

গণিতবিদ মানেই খুঁতখুঁতে, বাস্তবের সাথে যোগহীন, আপন ভোলা একটি মানুষের ছবি আমাদের মনে ভেসে ওঠে। এটা অনেক সময় সত্যি – আবার অনেকের ক্ষেত্রে নয়। স্বল্প পরিসরে ইতিহাস বলা সম্ভব নয়, এমন কি বিখ্যাত গণিতজ্ঞদের কেবল নাম মাত্র উল্লেখ করতে গেলেই অনেক জায়গার দরকার হবে। তাই আমরা এই আলোচনতে কেবল ‘সংখ্যাতত্ত্বের’ মধ্যেই সীমাবদ্ধ থাকব। অনেকের মতে গণিতের এই শাখাটাই নাকি সবচেয়ে আকর্ষনীয়। হতেও পারে বা, তবে যেটা অনস্বীকার্য সেটা হল আমাদের জীবনে সংখ্যার অবদান। সেই বিষ্ময়কর সাদৃশ্য নিয়ে আমরা পরে বিস্তারিত আলোচনাতে যাব।

মানুষ চিরকাল ধরে গণিত সমন্ধীয় দুটি অনন্ত জিজ্ঞাসা নিয়ে বসে আছে – গণিতের প্রকৃতি (Nature of Mathematics) আর গণিতের দর্শন (Philosophy of Mathematics)। বিজ্ঞানের যে কোন শাখার এবং তার সাথে গণিতেরও বিশেষ কোন প্রশ্নের উৎপত্তি জানতে হলে আমাদের সেই প্রাচীন যুগে ফিরে যেতেই হবে। এটা বারবার প্রমাণিত হয়েছে যে, যেই সভ্যতা যত উন্নতি করেছে তার মনে ছিল ততই অনুসন্ধিৎসা আর নতুন কিছু খুঁজে বার করার উদগ্র ইচ্ছা। গণিতের উন্নতিতে সেই রকমই প্রাচীন দুটি সভ্যতা ছিল মিশরীয় এবং ব্যাবিলনীয়। সংখ্যাতত্ত্বেই হোক আর জ্যামিতির কোন বিষয়েই হোক, এদের ভিত্তি এখনও অনেক সময় সেই হাজার হাজার বছর আগেই আবিষ্কৃত তত্ত্বের উপর নির্ভর করে। আর ঠিক এখানেই প্রাচীন ভারতীয় সভ্যতার অবদানও কম নয়। আমার তো মাঝে মাঝে এখনও শূন্য লেখার সময় অবচেতন মনে গর্বিত হয়ে উঠি এই ভেবে যে এটা আমাদেরই দান! সে যাই হোন, আরও অনেক কিছু সাথে মানুষ জিজ্ঞাসা করে এসেছে যে – গণিত কি উদ্ভাবিত (invent) হয়েছিল নাকি মানুষ কেবল সংখ্যাগুলো আবিষ্কার (discover) করেছিল?

গণিতের উন্নতি কি মানুষের চিন্তাধারার উপর নির্ভর করেই না করেই হয়ে চলেছে? এর উত্তর হয়তো কোনদিনও সম্পূর্ণ ভাবে পাওয়া যাবে না। তবে কোন এক বিখ্যাত মনীষী সুন্দরভাবে বলেছিলেন, “তুমি একজন দার্শনিককে জিজ্ঞাসা কর যে ‘দর্শন’ কি? বা একজন ঐতিহাসিককে ‘ইতিহাস’ কি? এবং তুমি দেখবে যে, এর উত্তর দিতে তাদের কোন অসুবিধাই হচ্ছে না। এদের মধ্যে কেউই তার নিজের বিষয়ে এগোতে পারবে না যদি সে না জানে কিসের সন্ধানে সে ঘুরছে। এবার সেই একই প্রশ্ন কর একজন গণিতবিদকে, ‘গণিত’ কি? সে যদি সত্যিই সৎ উত্তর দেয় তাহলে দেখবে সে বলছে এই প্রশ্নের উত্তর সে জানে না, কিন্তু এই না জানা তাকে গণিত নিয়ে কাজ করতে বাধা দিচ্ছে না। এর থেকে বড় কথা আর কি হতে পারে?”

আমি হয়তো অঙ্ক তত ভালো জানি না – কিন্তু তাতেও তো এই প্রবন্ধে অঙ্ক নিয়ে ধস্তাধস্তি আটকাচ্ছে না!

এটাতো আমরা সবাই জানি যে, লক্ষ্য ছাড়া মানুষ বাঁচতে পারে না – অনন্ত তার জিজ্ঞাসা আর অনন্ত তার উৎসাহ। সেই কবে থেকেই আমরা চলেছি প্রশ্নের উত্তর খুঁজতে খুঁজতে। আগে মানুষ প্রকৃতিকে ঈশ্বর বলে পূজা করেছে, তারপর যত দিন গেছে প্রকৃতির খেয়ালিপনার উত্তর খুঁজতে আমরা নিয়োজিত হয়েছি। প্রকৃতি কি সত্যই কোন সূত্র মেনে চলে? সেই প্রাচীনকাল থেকে আজকের Theory of Everything পর্যন্ত আমরা সেই চরম সত্যের সন্ধানে ব্যপৃত। আর সেই সন্ধানে আমাদের হাতিয়ার হল গণিত। খাতার উপর ছোট ছোট আঁকা আঁকি আমাদের বলে দেয় পদার্থের চরম কাঠামো, গ্রহতারার গতিপথ, এমন কি আমাদের দেহের গঠনও। এগুলো সবই ঘটনা আর তার কারণ হতে পারে, কিন্তু ব্যাখ্যা নয়। কেন মেনে চলবে গ্রহ-তারা, অণু-পরমাণু আমাদের গ্রথিত সূত্র? কেন পৃথিবী নাচবে গণিতের সাথে তাল দিয়ে? এগুলো কি কেবলই ঘটনার সমানুপাত, নাকি অন্য কোন গোপন যোগ সত্যি আছে এদের মধ্যে? বাস্তবের একটা অভ্যাসই হল মানুষের কল্পনার সাথে পাল্লা দেওয়া – আমরা যে পরিকল্পনা করেছি তার থেকে বিচ্যুত হওয়া। কিন্তু একমাত্র গণিতি মনে হয় সেই নিয়মের বিষ্ময়কর ব্যতিক্রম যা কিনা নিয়মটাকেই প্রমাণ করে। গণিতের সূত্র মেনেই চারশো বছর পর ধূমকেতু আবার দেখা যায় তার চিহ্নিত জায়গায়। তাহলে নিয়মটি কি? এই সব ভেবেই কি আমরা আজও এই প্রবাদ বাক্যটি ব্যবহার করি – Mathematics is the finest language in the world?

পৃথিবীর সবচেয়ে প্রাচীন সংখ্যা-পাগল গোষ্ঠীর খোঁজ পাওয়া যায় গ্রীসে খ্রীঃ পূঃ ষষ্ঠ ও পঞ্চম শতাব্দীতে। আমরা আধুনিক দুগে কম্পিউটারের সামনে বসেও মাঝে মাঝে সংখ্যার আচরণে ঘাবড়ে যাই, তা হলে সেই প্রাচীনকালে লোকেরা সংখ্যা নিয়ে আদিখ্যেতা করবে এতে আর আশ্চর্য কি? গ্রীসের ঐ প্রাচীন গোষ্ঠীকে বলা হত পিথাগোরিয়ান। এরা সংখ্যার ব্যবহারে এতই চমৎকৃত ছিল যে জীবনের সবকিছুই এরা সংখ্যা দ্বারা চালিত বলে মনে করতে শুরু করে। এদের বিশ্বাস ছিল প্রত্যেক বস্তুই আদতে সংখ্যা এবং এই সব সংখ্যা হল বাস্তবের মূল ভিত্তি। সমস্ত জিনিসই নাকি সংখ্যার সাহায্যে বিশ্লেষণ করা যাবে, কিন্তু সংখ্যাকে আর অন্য কিছু দিয়ে বিশ্লেষণ করা যাবে না! এ সেই অনেকটা ভগবান বিশ্বাসের মত ব্যাপার। সব কিছুই ভগবানের সৃষ্টি – তাহলে ভগবানের সৃষ্টিকর্তা কে? এদের বিশ্বাস মত কেবলমাত্র কোন বিশেষ বস্তু গণিতের সূত্র মেনে চলে তা নয় – সমগ্র জগত, তাতে প্রত্যেক বস্তুই সংখ্যার দ্বারা চালিত। এ পর্যন্ত ঠিক ছিল, কিন্তু এরা এরপর ‘ন্যায়বিচার’, ‘সুযোগ’ – এই সব অ্যাবস্ট্রাক্ট জিনিসও সংখ্যা দিয়ে ব্যাখ্যা শুরু করে। এর পর বলাই বাহুল্য এদের পিথাগোরাস ভ্রাতৃসংঘ বেশীদূর এগোয় নি। যদি সত্যই সবকিছু সংখ্যা স্বারা নির্মিত হয়, তাহলে বাস্তবের সঠিক প্রকৃতি বোঝার জন্য আমাদের দরকার হবে সংখ্যাদের চর্চা, তাদের ধর্ম, তাদের পারস্পরিক সম্পর্ক ইত্যাদি। এগুলো হতেই পারে আমাদের দৈনন্দিন কাজের সাথে সম্পর্ক-বিবর্জিত, যাকে আজকাল Pure Mathematics বলা হয়। তবে পিথাগোরাস সংঘের মূল দূর্বলতা ছিল সংখ্যাদের জীবিত বস্তুর মত বিচার করা।

এর পর আসে Platonism – যে মতবাদের প্রবক্তা ছিলেন প্লেটো। এর মূল ভিত্তি ছিল তাঁর বিশ্বাস যে, আমরা গণিতের তত্ত্ব আর সত্যতা কেবল খুঁজে বের করি মাত্র। সংখ্যারা আমাদের আবিষ্কার নয় – তারা আগে থেকেই বর্তমান, সেই কোন দ্বীপ আবিষ্কারের মত। এই সব দেখে শুনেই মনে হয় চার্লস ডারউইন মন্তব্য করেছিলেন, “গণিতজ্ঞ একজন অন্ধ ব্যক্তি মাত্র – যে অন্ধকার ঘরে একটি অস্তিত্ত্ববিহীন কালো বেড়াল খুঁজে বেড়াচ্ছে”।

তাহলে সংখ্যদের এমন কি বৈশিষ্ট যে প্রাচীনকাল থেকে মানুষ তার উপর এত আকর্ষণ বোধ করে আসছে? কিছু নমুনা দেওয়া যাক বিশ্লেষণ করে। আসুন একটা সংখ্যা শ্রেণী লিখে ফেলি,

[ক্রমশঃ]
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89 …

চেনা চেনা লাগছে? এই শ্রেণীটিকে বলা হয় Fibonacci’s series। লিওনার্দো ফিবোনাচি এই শ্রেণীটি প্রথম আবিষ্কার করেন। এই শ্রেণীর একটা সংখ্যা পাওয়া যায় তার ঠিক আগের দুটিকে যোগ করে। যেমন, 1 + 1 = 2, 1 + 2 = 3, 3 + 5 = 8, 5 + 8 = 13 ইত্যাদি।

দেখতে এমনিতে সাদামাটা, কিন্তু মজা হচ্ছে কোন সংখ্যাকে তার আগেরটা দিয়ে ভাগ করলে পাওয়া যাবেঃ

2/1=2.0, 3/2 = 1.5, 5/3=1.67, 8/5=1.6, 13/8=1.625, 21/13=1.615, 34/21=1.619, 55/34=1.618, 89/55=1.618

সংখ্যাদের মান যত বড় হবে, অনুপাত ততই এগিয়ে আসবে নির্দিষ্ট মানে – যেটা হল 1.618 । এই সংখ্যাটাকে বলা হয় Golden Ratio (স্বর্ণ অনুপাত)। এই সংখ্যা আমাদের জীবনে এবং চারপাশের জিনিসের সাথে এমন ভাবে জড়িয়ে আছে যে এটাকে মনে করা হয় ভগমানের সৃষ্টি। গাণিতিক উপায়ে পাওয়া যেতে পারে একটা সরলরেখাকে ভাগ করে। একটা সরল রেখাকে বড় আর ছোট ভাগে ভাগ করা হল। ভাগটা এমন ভাবে হওয়া চাই যেন ছোট ভাগের সাথে বড় ভাগের অনুপাত, বড় ভাগের সাথে সম্পূর্ণ সরলরেখার ভাগের অনুপাতের সমান হয়, অর্থাৎ, a/b = (a+b)/a = 1.618 [দেখুন সাথের ছবি 1A]।

<[url=http://postimg.org/image/eib173x6x/][img]http://s28.postimg.org/eib173x6x/Golden_Ratio.jpg[/img][/url]>

<http://s28.postimg.org/6csz8y8y5/Golden_Ratio.jpg>

1.618 সংখ্যাটির মজা হচ্ছে এটি দিয়ে 1 কে ভাগ করলে পাওয়া যায় (1/1.618) = 0.618

প্রাচীন গ্রীসে এই সংখ্যার আকর্ষণ এতই বেশী ছিল যে স্থপতিরা এটি তাদের কাজে ব্যবহার করতে শুরু করেন। সবচেয়ে বড় উদাহরন হল পার্থেনন। আমরা সবাই এর ধ্বংসাবশেষের ছবি দেখেছি [দেখুন সাথের ছবি 1B]। এখন যদি একটা কল্পিত আয়তক্ষেত্র আঁকা হয় এর সবচেয়ে বাঁ দিকের থাম বা পিলার থেকে ডানদিকের থাম এবং নীচ থেকে চূড়া পর্যন্ত, তাহলে দেখব সেই আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের অনুপাত প্রায় 1.618। এছাড়া পার্থেননের একদম সামনে কিছু আয়তক্ষেত্র দেখা যায় যাদের দৈর্ঘ্য-প্রস্থের অনুপাতও Golden Ratio –র কাছাকাছি।

শুধু স্থাপত্যশিল্প নয়, চিত্রকলাতেও এই অনুপাতের ব্যবহার অনেক। এমন শোনা যায় লিওনার্দো দা ভিঞ্জি নাকি এই ‘অনুপাত’ একান্তই ভালোবাসতেন। তার প্রমাণ পাওয়া যায় অবশ্য সেই বিখ্যাত ‘মোনালিসা’ ছবিতে। ছবিটির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের অনুপাত 1.618 [দেখুন সাথের ছবি 1C]। তাছাড়া যদি একটি আয়তক্ষেত্র আঁকা হয় মোনালিসার ঠিক মুখমণ্ডলে তবে তার দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের অনুপাত হবে সেই Golden Ratio। এছাড়া আরো অনেক বিখ্যাত ছবিতেও (যেমন লাষ্ট সাপার, দ্যা সেইন্ট) Golden Ratio ব্যবহার লক্ষণীয়।

এতো না হয় গেল মানুষের এই অনুপাত ব্যবহারের কথা। প্রকৃতিতেও Golden Ratio এত জায়গাতে চোখে পড়ে যে, মাঝে মাঝে সত্যই ভাবতে ইচ্ছে করে ভগবান একজন গণিতজ্ঞ! Golden Ratio মনে হয় প্রকৃতিরও ভালোবাসার সংখ্যা। আর এটাও ঠিক যে, যে সমস্ত আকার Golden Ratio মেনে চলে – সেগুলি বেশ নয়ন সুখকর হয়। কেন? আমি জানি না – হয়ত বা কেউই না!

শামুক, শাঁখ দেখেছেন তো? শাঁখের পেঁচানো আকৃতি তো দেখতে বেশ লাগে। আসুন দেখি যে Fibonacchi series থেকে কি করে এমন আকার আসতে পারে। প্রথমে একক দৈর্ঘ্যের একটি বর্গক্ষেত্র আঁকুন। তারপাশে আরেকটা। তাহলে পাশাপাশি দুটি বর্গক্ষেত্রে মোট দৈর্ঘ হল দুই একক। আবার দুই একক বাহু বিশিষ্ট একটি বর্গক্ষেত্র আঁকুন ঠিক ওদের উপর। তাহলে এখন একটি নতুন বর্গক্ষেত্র হল যার বাহুর দৈর্ঘ্য হল তিন একক। এই ভাবেই এঁকে যান। এবার সাথের ছবি 1D এর মতন কোন গুলি পরস্পর যোগ করুন। কি পাচ্ছেন? একটা শাঁখের আদল না?

আমরা তো পাইন গাছের ফুল দেখেছি (Pine Cone), কেমন সব চক্রাকারে সাজানো থাকে। যদি একটি বিশেষ চক্র (spiral) ধরে গুণতে থাকেন, তাহলে দেখবেন ওরা সংখ্যায় 21, 34, 55 ইত্যাদি – আশ্চর্য্য না? শুধু তাই না – যদি মাছ, ফড়িং, কচ্ছপ, পাখী এদের চারিদিকে একটি আয়তক্ষেত্রে আঁকেন, তাহলে অনেকক্ষেত্রে দেখা যাবে দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের অনুপাত 1.618, অর্থাৎ জীবজগতের অনেক প্রাণীর আকারই Golden Ratio অনুযায়ী!
মানুষের এক প্রিয় সহচর ঘোড়া – তার শরীরে তো Golden Ratio-র ছড়াছড়ি।

অন্য অনেক প্রাণির মত মানুষের দেহেও Golden Ratio-র ছাপ রয়ে গেছে। সাথের ছবি 1E থেকে বোঝা যায় আমরা কতখানি সংখ্যার দ্বারা চালিত। কিছু কিছু হলিউডের তারকাকে (বা তাদের মুখের) বিশ্লেষণ করে Perfect Face বলা হয়ে থাকে। সেই Perfect Face-এও স্বর্ণ অনুপাত। মুখের লম্বা ও চওড়ার অনুপাত বিষ্ময়কর ভাবে Golden Ratio মেনে চলে।

কত উদাহরণ দেব? কত সোসাইটি তৈরী হয়েছে যারা এই Golden Ratio-র উপস্থিতি খুঁজে বেড়াচ্ছে আমাদের চারিদিকে এবং আমাদের মধ্যে। যাঁরা এই বিষয়ে বিশদ জানতে ইচ্ছুক তাঁরা কেবল google.com এ গিয়ে Golden Ratio কথাটি টাইপ করে দেখবেন। তথ্যের ঠেলায় অস্থির হয়ে উঠবেন। তবে আন্তরিক পরামর্শ দেব যে, বেশী ঘাঁটাঘাঁটি করবেন না – ভগবানে বিশ্বাসী না হলে এরপর থেকে বিশ্বাসী হতে শুরু করবেন। আমাদের চারপাশ ঠিক ছিল, কিন্তু আমাদের ভিতর নিয়ে টানাটানি করে তাঁরা কি বের করেছেন তার কিছু উদাহরন দেবার লোভ সামলাতে পারলাম না। আমাদের কান টেনে দেখানো হয়েছে কানের স্পাইরালটা Fibonacci series থেকে পাওয়া। DNA-এর প্রস্থচ্ছেদ করেছেন – তাতে নাকি Golden Ratio! তবে হৃদয়ের যে ধাক্কাটি সামলাতে পারি নি, সেটা হল Heart Beat এর বিশ্লেষণ! এতেও Golden Ratio [দেখুন সাথের ছবি 1F]। । এঁরা বনে জঙ্গলে তছনছ করে Golden Ratio-র প্রয়োগ খুঁজছেন। হাতের কাছে সূর্যমুখীর spiraling গুণে গুণে দেখিয়েছেন তাতে হয় 34 নয় 55 টা spiral আছে। বাকি কিছু উদাহরন,

৩ পাপড়ি যুক্তঃ লিলি, আইরিস
৫ পাপড়ি যুক্তঃ বাটারকাপ, ওয়াইল্ড রোজ, লার্কস্পার
৮ পাপড়ি যুক্তঃ ডেল্‌ফিরিয়ামাস
১৩ পাপড়ি যুক্তঃ কর্ণ মেরিগোল্ড, সিনেরারিয়া, রোগওয়ার্ট
২১ পাপড়ি যুক্তঃ ব্ল্যাক-আইড সুজান, অ্যাষ্টার
৩৪ পাপড়ি যুক্তঃ প্ল্যান্টেইন, পাইরেথ্রাম

এদের বেশীর ভাগই আমি চোখে দেখি নি, আপনিও না দেখে থাকলে ঘাবড়াবার কিছু নেই, তবে এরা সত্যিই আছে। ছবি দেখতে চাইলে চলে যানঃ

http://www.math.smith.edu/~phyllo/Gallery/Pages/Frameset.htm

সংখ্যা নিয়ে আলোচনায় আবার পরে ফিরে আসা যাবে – এবার একটু মুখ ফেরানো যাক গণিতবিদদের দিকে। এই স্বল্প পরিসরে কারও জীবনী বর্ণনা করা যাবে না আর সেটাই ইচ্ছেও নেই আমার। তাই আসুন কিছু গালগল্প করে সময় কাটানো যাক। এই ইন্টারনেট প্রসারের সাথে সাথে মানুষের একটা প্রবণতা চলে এসেছে ভোটাভুটি করার। কম সময়ে বেশী লোকের কাছে পৌঁছবার কুফল আর কি! সব বিষয়েই ভোট – শতাব্দীর সেরা অভিনেতা, সেরা খেলোয়াড়, সেরা মণীষী, সেরা সব কিছু বেছে নেবার প্রতিযোগীতা। তাই সেরা গণিতজ্ঞ বিষয়টাই বা বাদ থাকে কেন! কিছু কাল আগে নাকি এই রকম একটা ভোটাভুটি হয়েছিল সর্বকালের সেরা তিন গণিতজ্ঞ বেছে নেবার জন্য। এক বাছাটা বেশ বিতর্কিত হয়ে যেত বলেই মনে হয় এই তিনজন বেছে নেওয়া হয়। অনুপান করতে পারেন এই তিনজন কারা হতে পারেন?

সবচেয়ে আশ্চর্য হল এই বেছে নেওয়া নিয়ে বেশী বিতর্ক হয় নি – মানে সিদ্ধান্তটা সর্বসম্মতই বলা যায় আর কি! প্রথম দুজনের নাম অনুমান করা খুব একটা কঠিন নয়। প্রথম জন আর্কিমিডিস (২৮৭ খ্রীঃ পূঃ – ২১২ খ্রীঃ পূঃ), দ্বিতীয় জন নিউটন (১৬৪২-১৭২৭) আর তৃতীয় জন হলেন গাউস বা গস্‌ (১৭৭৭-১৮৫৫)। প্রথম দুজনকে আমরা প্রায় সবাই ছেলেবেলা থেকে নাড়াচাড়া করে আসছি। একদম ছোটবেলায় তাদের গল্প আর তার পরে তাদের আবিষ্কৃত সূত্র নিয়ে আমরা কিছু না কিছু মাথা ঘামিয়েছিলাম। তৃতীয়জন হয়ত তেমন পরিচিত নন আপমর জনসধারণের কাছে। আর্কিমিডিস আর নিউটন নিয়ে নতুন করে বলবার মত গল্প আমার কাছে নেই। তাই গস্‌কে নিয়েই একটু ফেনানো যাক। ও হ্যাঁ, শুধ একটা কথা – বই পত্র পড়ে যা জানা গেছে তাতে করে এই প্রমাণিত হয় আমাদের মনের ভিতর আঁকা গণিতবিদের ছবিটা নিউটনের সাথে ঠিক খাপ খায় না! নিউটন আপন ভোলা ছিলেন না, ছিলেন না অগোছালো। বরং তিনি ছিলেন এর ঠিক উলটো! নিজের কাজ সম্পর্কে অনেক সচেতন ছিলেন তিনি। আর তাঁর গোছালো স্বাভাবের জন্য আখেরে আমাদের লাভই হয়েছে! গোছালো না হলে কেউ কি ‘প্রিন্সিপিয়া ম্যাথামেটিকা’র প্রথম পান্ডুলিপি দূর্ঘটনা বশতঃ আগুনে পুড়ে গেলে, আবার নতুন করে পুরোটা লেখেন!

কার্ল ফ্রেডরিক গস্‌ জন্মগ্রহন করেন ১৭৭৭ সাথে এক দরিদ্র পরিবারে। এক কথা প্রায়শই বলা হয়ে থাকে যে যাঁরা পরবর্তী জীবনে অসাধারণ হবেন তাঁরা নাকি ছেলেবেলা থেকেই তার নিদর্শন দিতে শুরু করেন। গস্‌ও এর ব্যতিক্রম নয়। তিনি নাকি মাত্র তিন বছর বয়সেই বাবার হিসাবের ভুল ধরেছিলেন। তবে সবচেয়ে মজার গল্পটা হল গসের যখন ছয়-সাত বছর বয়স তখন স্কুলের ক্লাসে খুব বদমাইশি করেছিলেন। মাষ্টার মশাই বিরক্ত হয়ে বলেন সব ছেলে ১ থেকে ১০০ পর্যন্ত যোগফল বার করার পর আবার খেলতে যেতে পারবে। তিনি নিশ্চিত ছিলেন যে এই কঠিন অঙ্ক ঐ বাচ্চাদের অনেকক্ষণ ব্যস্ত রাখবে। তাঁকে অবাক করে দিয়ে গস্‌কে খানিক পরেই মাঠে খেলা করতে দেখা যায়। মাষ্টার মশাই জানতে চান গস্‌ যোগ করেছিলান কিনা? দ্রুত জবাব আসে গসের কাছ থেকে যোগফল হল ৫০৫০। বিষ্মিত হয়ে তখন মাষ্টার মশাই জানতে চান এত তাড়াতাড়ি গস্‌ এটা করলেন কিভাবে! গস্‌ নাকি এটা খুবই সোজা ভেবেছিলেন। তিনি যোগ করেছিলেন এই ভাবে –

[ক্রমশঃ]

[url=http://postimg.org/image/eib173x6x/][img=http://s28.postimg.org/eib173x6x/Golden_Ratio.jpg][/url]

http://s28.postimg.org/6csz8y8y5/Golden_Ratio.jpg


প্রথম একটি লাইন ০ থেকে ১০০ পর্যন্ত লিখে, তারপর ঠিক তলায় ১০০ থেকে ০ পর্যন্ত লিখেছিলেন।

০ ১ ২ --- ৯৮ ৯৯ ১০০
১০০ ৯৯ ৯৮ --- ২ ১ ০

এখন প্রতিটি কলামের যোগফল হচ্ছে ১০০। তাহলে ১০১ টি কলামের মোট ১০১*১০০, আর প্রতিটি কলাম পুনরাবৃত্ত হয়েছে, অতএব ২ দিয়ে ভাগ। এই ভাবে মোট যোগফল (১০১*১০০)/২ = ৫০৫০ – খুবই সহজ!

রহস্যময় আচরণে কিন্তু গস্‌ গণিতজ্ঞ হবার সব শর্তই পূর্ণ করেছিলান। তাঁর মৃত্যুর ৪৩ বছর পর একটি ডায়েরী উদ্ধার করা হয় তাঁর নাতির কাছ থেকে। এই ডায়েরীতে ১৪৬ টি সংক্ষিপ্ত বক্তব্য লেখা ছিল যেগুলি গস্‌ জীবিত অবস্থায় কোনদিন প্রকাশ করেন নি। পরে দেখা গেছে বিংশ শতাব্দীর অনেক বড় বড় গাণিতিক তত্ত্বই নাকি এই ডায়েরীর সাথে কোন না কোন ভাবে যুক্ত। ডায়েরী প্রকাশ না করে তবে কি গণিতের অগ্রগতি কয়েক বছর পিছিয়ে দিয়েছিলেন গস্‌? তাঁর বিস্তৃত অবদান লেখা এখানে সম্ভব নয় লেখা, হয়ত আরো অনেক বছর লাগবে গস্‌কে পরিপূর্ণ ভাবে জানতে। সব ভেবে দেখেই বোধ হয় এই প্রতিভাবানকে Prince of Mathematician বলা হয়ে থাকে। গণিতের অন্য শাখার মত সংখ্যাতত্ত্বেও গস্‌ এর অবদান অবিষ্মরণীয়।

এবার তাহলে প্রশ্ন উঠতেই পারে যে বিজ্ঞানের অন্য শাখায় না হয় কৃতিত্বের পুরস্কার স্বরূপ নোবেল পুরস্কার আছে, গণিতের বেলায় তেমন কিছু চালু আছে কি? ছোটবেলায় আমরা সবাই জানতাম নোবেল প্রাইজের তালিকায় গণিত বিষয়টি নেই। একটু বড় হবার পড় জানতে ইচ্ছে করত কেন নেই! অনেক গল্প চালু আছে এই নিয়ে। সেগুলির সংক্ষিপ্ত সার হলঃ

• আলফ্রেড নোবেল নাকি গণিত বা Theoretical Science নিয়ে বিশেষ উৎসাহী ছিলেন না।
• নোবেল পুরস্কার কেবল মাত্র সেই সব আবিষ্কারকেই যাদের সঙ্গে মনুষ্য সভ্যতার Practical যোগ আছে।
• আলফ্রেড নোবেল নাকি প্রেমে ব্যর্থ হয়ে গণিতের উপর বীতশ্রদ্ধ হয়ে পড়েছিলান। তিনি যাকে ভালোবাসতেন সেই মেয়েটি নাকি একজন গণিতবিদকে বিবাহ করে। তাই নোবেল গণিতকে পুরষ্কারের তালিকার বাইরে রেখেছিলেন।

এই সবের সত্য মিথ্যা হয়তো কোন দিনই যাচাই করা যাবে না, তবে লোকপ্রবাদের পাল্লায় তৃতীয় কারণটাই ভারী!

আর একটু বড় হয়ে জানতে পরেছিলাম যে গণিত শাখায় নোবেল পুরস্কারের সমতূল্য হচ্ছে Field Medal যেটা International Mathematical Union -এর পক্ষ থেকে প্রতি চার বছর অন্তর এক বা একাধিক গণিতজ্ঞকে দেওয়া হয় তাঁদের কৃতিত্বের জন্য।
এছাড়াও অনেক পুরস্কার চালু আছে যেগুলি পাওয়া যেতে পারে কোন একটি বিশেষ সমস্যা সমাধানের জন্য। যাঁরা উৎসাহি তাঁরা এই ওয়েবসাইটে খোঁজ নিতে পারেনঃ

www.claymath.org/millennium-problems

এখানে একটি পুরস্কারের তালিকা আছে যেটিকে বলা হয় Clay Institute Millennium Prize Problems. সমস্যাগুলির মধ্যে Riemann Hypothesis –ও আছে। এটি বর্তমান আধুনিক সভ্যতার একটি বিশেষ অঙ্গ কম্পিউটার এর সাথে যোগ রাখে বলে এটিকে নিয়ে আমরা ঈষৎ নাড়াচাড়া করব। কিছু বছর আগে পর্যন্ত যে তিনটি সমস্যা নিয়ে সবচেয়ে বেশী সংখ্যক ব্যক্তি মাথা ঘামিয়েছেন, সেগুলি হল Fermat’s Last Theorem, Riemann Hypothesis আর Goldbach Conjecture। এর মধ্যে Fermat’s Theorem কিছু বছর আগে প্রমাণ করেছেন অ্যান্ড্রু ওয়াইল্‌স। তিনি এই সমস্যা সমাধানের জন্য পেয়েছেন Wolfskehl Prize – যার পুরস্কার মূল্য ১০০,০০০ জার্মান মার্ক। অনেকেই জানেন Fermat Last Theorem কি – এই নিয়ে প্রচুর লেখালিখি হয়েছে, কিন্তু যাঁরা ভুলে গেছেন তাঁদের একটু মনে করিয়ে দেওয়া যাক। দেখতে কিন্তু এই সমস্যাটি নিতান্তই সরল। Fermat –কে বলা হত Prince of Amateurs, কারণ তিনি ছিলেন আদতে একজন ফরাসী আইনজ্ঞ, যিনি আবসর সময়ে অঙ্ক করতেন। যাইহোক সমস্যাটি হলঃ
Xn + Yn = Zn, যেখানে X, Y, Z, n সবই ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা। n-এর মান 2-এর থেকে বড় হলে (n>2) এর নাকি কোন সমাধান নেই বা উল্টোভাবে বলতে গেলে n>2 হলে X, Y, Z – এর পারস্পরিক সম্পর্কটি সত্যি নয়!

দেখতে প্রচন্ড সরল। কিন্তু এটাই আমাদের ৩০০ বছরের বেশী সময় ব্যস্ত রেখেছিল। সবাই ভেবেছিল এটার প্রমাণ খুবই সহজ আর তার কারণ ছিল Fermatএর নিজের একটি উক্তি। তাঁর বইয়ের মার্জিনে তিনি লিখে রেখেছিলেন এর একটি চমৎকার সমাধান তিনি পেয়েছেন, কিন্তু জায়গার অভাবে তিনি লিখতে পারছেন না। তাই এই ছোট্ট সমস্যাটি সমাধান করতে ওয়াইলস্‌ নিয়েছিলেন প্রথমবার ১৭০-১৮০ পাতা, আর একবার সংশোধনের পর সেটা দাঁড়িয়েছিল ২০০-এর কাছাকাছি।

তবে এই পুরস্কার হাতছাড়া হয়েছে বলে আপনি হতাশ হবেন না। কারন হাতের কাছেই রয়েছে Goldbach Conjecture। এর সমাধান করতে পারলে $ 1,000,000 আসবে আপনার পকেটে – আর তাছাড়া এটা দেখতেও বেশ সহজ। আপনাকে শুধু প্রমাণ করতে হবে, যে কোন জোড় পূর্ণ সংখ্যা (Even Integer) – কে দুটি মৌলিক সংখ্যার (Prime Number) যোগফল হিসাবে লেখা যায়। যেমন,

৪ = ২ + ২
৬ = ৩ + ৩
৫০ = ৩১ + ১৯
১২০ = ৭৯ + ৪১

লেগে পড়ুন – শুধু মনে রাখবেন ১৯৯৮ সালে কম্পিউটারের সাহায্যে দেখানো গেছে সম্পর্কটি ৪০০,০০০,০০০,০০০,০০০ পর্যন্ত সত্যি!

এবার ছোট্ট করে Riemann Hypothesis-এর আলোচনাটি সেরে ফেলা যাক। এটা অপেক্ষাকৃত জটিল। যাঁরা আরো জানতে ইচ্ছুক এর সম্পর্কে তাঁদের জানাই প্রচুর বই পাওয়া যায় – শুধু লাইব্রেরী যাবার অপেখা। না যেতে চাইলে সেই www.google.com এর আশ্রয় নিতে পারেন। আর যাঁরা বাংলায় পড়তে চান তাঁদের জানাই কিছু বছর আগে পুজো বার্ষীকি দেশ পত্রিকায় পথিক গুহ-র লেখা “সুন্দরী, সুধাপাত্র ও অমরত্ব” – এর এই নিয়ে খুব সুন্দর আলোচনা আছে।

মৌলিক সংখ্যার আচরণ আমাদের দীর্ঘদিন বিষ্মিত করেছে। এদের আচরণ কি সত্যি অসংলগ্ন – নাকি এরাও মেনে চলে শৃঙ্খলা! অনেকেই চেষ্টা করেছেন এমন কোন সূত্র আবিষ্কার করতে যা দিয়ে মৌলিক সংখ্যা সম্পর্কে পূর্বাভাস করা যায়! গস্‌ নিজেও চেষ্টা করেছিলেন। এমন কোন সূত্র পাওয়া যাবে কি যা দিয়ে আমরা মৌলিক সংখ্যা গঠন করতে পারব যত বড় ইচ্ছা? কিংবা বলতে পারব দুটি নির্দিষ্ট সংখ্যার মধ্যে কতগুলি মৌলিক সংখ্যা থাকতে পারে? তা নিয়ে রিম্যান এমন একটা সূত্রের প্রস্তাবনা করেছিলেন যা দিয়ে নাকি মৌলিক সংখ্যার আচরণ খুব ঘনিষ্টভাবে ব্যাখ্যা করা যায়। সেই Function কে বলা হয় Riemann Zeta Function। এটা প্রমান করা গেলে নাকি সংখ্যাদের তুঘলকি আচরন সব ঠান্ডা করে দেওয়া যাবে।

তা রিম্যান হাইপোথিসিস নিয়ে এত হৈ চৈ করার কি আছে? আসলে Prime Number আর Cryptography পরস্পর নির্ভরশীন। Cryptography নামটা চেনা চেনা লাগছে? এটা আর কিছুই নয়, এটা একটি পদ্ধতি যা দিয়ে গোপনীইয় তথ্যের আদান প্রদান করা হয়। এবং শুধু মাত্র তথ্যের প্রপাকই তার উদ্ধার করতে পারবেন। অর্থাৎ বাকিদের কাছে এটা থাকবে লুকানো। এই যে আমরা ইন্টারনেট-এ ক্রেডিট কার্ড ব্যবহার করি তার সুরক্ষাও নির্ভর করে মৌলিক সংখ্যার উপর। ১৯৭৭ সালে তিনজন ছাত্র Ron Rivest, Adi Shamir, আর Leonard Adleman এই ইন্টারনেট সুরক্ষার জন্য Algorithm আবিষ্কার করেছিলেন। এই পদ্ধতিতে দুটি বৃহৎ মোউলিক সংখ্যাকে গুণ করে একটা সংখ্যা পাওয়া যায়, যাকে বলা হয় চাবি (Key)। এই বড় সংখ্যাটাই আমরা ইন্টারনেটে আদানপ্রদান করি। আর এই মৌলিক সংখ্যাগুলি আপনার ক্রেডিট কার্ড বা অন্য কোন তথ্যের সংকেত বহন করে। তাহলে বুঝতে পারছেন পুরো বিষয়টির সুরক্ষা নির্ভর করে কত সহজে ঐ বড় সংখ্যাটিকে (Key) উৎপাদকে বিশ্লেষণ করা যাচ্ছে। যত বড় সংখ্যা হবে, তার উৎপাদক বিশ্লেষণ হবে তত কঠিন, অর্থাৎ আপনি তত সুরক্ষিত! তবে আমাদের নিশ্চিত হতে হবে, যে দুটি মৌলিক সংখ্যা আমরা প্রথমে গুণ করেছিলেন তারা আদৌ মৌলিক কিনা! কি ভাবে পরীক্ষা করব না? আমাদের গর্বের বিষয় যে ভারতের Indian Institute of Technology, Kanpur এর প্রফেসর আগরওয়াল এবং তাঁর ছাত্র নীরজ আর নীতিন এমন একটি পদ্ধতি আবিষ্কার করেছেন যা দিয়ে কোন সংখ্যা মৌলিক কিনা যাচাই করা যাবে। কিন্তু মনে রাখবেন এই পদ্ধতিতে মৌলিক সংখ্যা তৈরী করা যাবে না কিন্তু!

আর বেশী লিখতে পারছি না – তাই এবার আমাদের বাস্তব জীবনে গণিতের বিষ্ময়কর ব্যবহারের উদাহরন দিয়ে লেখা শেষ করব ভাবছি। যাঁরা বিশদে জানতে চান তাঁরা এখানে খোঁজ করতে পারেন - সত্যই অসাধারনঃ

www.ams.org/mathmoments

ধরুণ আপনি যখন বাজার করেন, তখন কোন দ্রব্যের দাম লেখা থাকে তার উপর কয়েকটি সাংকেতিক দাঁড়ির (Bar Code) সাহায্যে এখানে ব্যবহার করা হয় Modular Arithmatic। তারপর এই যে চোখ স্ক্যান করে ব্যক্তিদের চিহ্নিত করার সময়েও এই গণিত। Probability Theory – র সফল প্রয়োগ। আবার ভাবুন সেই Travelling Sales এর সমস্যাটির কথা। মনে করুন আপনি কতগুলি বিশেষ শহর ভ্রমন করতে চান পৃথিবী জুড়ে। তাহলে কিভাবে ভ্রমন করলে আপনি সব শহরগুলিতেই একবার করে যাবেন, কিন্তু সবচেয়ে কম দূরত্ব অতিক্রম করবেন। সেখানেও গণিত। মানচিত্রে কত রঙের বাহার দেখি আমরা – এক দেশের এক রঙ। তাহলে কতগুলি বিভিন্ন রঙ ব্যবহার করলে পাশাপাশি দুটি দেশ কখনো এক রঙের হবে না। আমরা যে কাগজ দিয়ে নানা জিনিস বানাই খেলার ছলে (Origami) সেখানেও জ্যামিতিক ভাঁজের খেলা। মহাকাশে বিশাল আয়তনের টেলিস্কোপ পাঠানোর সময় কিভাবে সবচেয়ে ছোট আয়তনে ভাঁজ করা যাবে – উদাহরন দিয়ে শেষ করা যাবে না।

তবে শেষ করা যেতেই পারে এক বিখ্যাত ব্যক্তির উক্তি দিয়ে। কার উক্তি আমি বলব না – এটা আপনার গুগুলের সাহায্য না নিয়ে কার হতে পারে সেটা ভাবুন – কে বা কারা করতে পারে এমন উক্তিঃ

Poets do not go mad, but chess players do; mathematicians go mad, and cashiers; but creative artists very seldom. I am not, as will be seen, in any sense attacking logic; I only say that this anger lie in logic, not in imagination.
সংখ্যা নিয়ে খেলা করলেই কি গণিতবিদ হওয়া যায়? আমরা সবাই তো সংখ্যা নিয়ে নাড়াচাড়া করি, তাহলে আমরা সবাই কি গণিতজ্ঞ? তা আমি বলতে পারব না, তবে আপনি নিশ্চয় গণিতজ্ঞ যদিঃ

• পাই-এর (Pi) মান পঞ্চাশ দশমিক স্থান পর্যন্ত আপনার মুখস্থা থাকে
• আপনি কোন না কোন সময় Fermat’s Theorem প্রমাণের চেষ্টা করে থাকেন
• আপনি অন্ততঃ দশ রকম ভাবে পিথাগোরাসের উপপাদ্য প্রমাণ করতে জানেন
• আপনার টেলিফোন নম্বর দুটি মৌলিক সংখ্যার যোগফল
• যদি আপনার স্ত্রীকে আপনি কোন ঘনিষ্ট মুহুর্তে বলেন যে তাঁর চুলগুলি সোজা এবং পরস্পর সমান্তরাম
• গাড়ি কিনতে গিয়ে যদি বিক্রেতাকে বলেন, আমি লাল গাড়িটা অথবা নীল গাড়িটা নেব। এবং তার সাথে যোগ করেন, তবে দুটো গাড়ি একসাথে নয়!

তথ্যসূত্রঃ
1. Men of Mathematics – E.T. Bell
2. Of Men and Numbers: The Story of the Great Mathematicians – Jane Muir
3. Fermat’s Last Theorem – Amir Aczel
4. On the Shoulder of Giants – Stephen Hawking
5. The Emperor’s New Mind – Roger Penrose
6. Pi in the Sky – John D Barrow
7. The Last Problem – E.T. Bell
8. Mathematical Scandals
9. পথিক গুহর লেখা আনন্দবাজার ও দেশে প্রকাশিত প্রবন্ধ সকল।


[ক্রমশঃ - দেব কিনা বুঝতে পারছি না]



3501 বার পঠিত (সেপ্টেম্বর ২০১৮ থেকে)

শেয়ার করুন


মন্তব্যের পাতাগুলিঃ [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7]   এই পাতায় আছে 116 -- 135
Avatar: Atoz

Re: গণিত, সৌন্দর্য্য ও অমরত্ব

হিট খেয়ে একটু হীটেড হয়ে গ্যাছেন মনে হয়। ঃ-)
মাফ করুন, একটু মজা করলাম আরকি।
Avatar: bip

Re: গণিত, সৌন্দর্য্য ও অমরত্ব

গণিত, বিজ্ঞান এগুলি বড় এরিয়া এখানে এসে কেও যদি বলে মশাই আপনি খবর রাখেন না-সেটা হাস্যকর। কারন কারুর পক্ষেই তার নিজের কুয়োর বাইরে খবর রাখা সম্ভব না। আমি যেটুকু দেখছি, সেটাই লিখলাম। কেও যদি অন্য কুয়োতে অন্য ব্যাঙের পেচ্ছাপ খেয়ে থাকে, সে তাহলেই সেই কুয়োর কথাই লিখুক। এই মহান জ্ঞান সমুদ্রে আমরা ব্যাঙাচি মাত্র। কবিতার ভাষা নিয়ে পরীক্ষা হয় না? নতুন অভিব্যাক্তি নতুন ভাষার নির্মান থেকেই আসে। গনিত ও তাই । এই বিগ ডেটা ফিল্ডে বা একটা কমপ্লেক্স সিস্টেমে কি ভাবে সমস্ত স্ট্রাকচারগুলোকে ধরা যাবে তার গণিত এখনো অধরাই এবং বর্তমানের গনিত এখনো সেই ব্যাপারে অদক্ষ। ইন্ট্রইগ্রাল ইকুয়েশনের জন্ম হয়েছিল ফ্রান্সের আদমসুমারীতে জনগননার ভবিষত বানীর জন্য। নতুন চ্যালেঞ্জ থেকেই নতুন গণিতের জন্ম হয়।
Avatar: Atoz

Re: গণিত, সৌন্দর্য্য ও অমরত্ব

হ্যাঁ হ্যাঁ, অবশ্যই অবশ্যই। এই যেমন ধরা যাক না কেন ভবিষ্যতে বাইপোলার ম্যাথেমেটিক্স আবিষ্কার হলো হয়তো। তারপরে এলো তার ক্যালকুলাস, যাকে বলে রেপাগুলার ক্যালকুলাস। তারপরে হয়তো তা থেকে আরো সূক্ষ্ম ক্যালকুলাস এলো, কোহলিয়ার ক্যালকুলাস বা সার্পেন্টাইন ক্যালকুলাস।
এরকম কত কিছুই হয়তো হবে ভবিষ্যতে। ঃ-)
Avatar: bip

Re: গণিত, সৌন্দর্য্য ও অমরত্ব

কি আপদ। হিলবার্ট স্পেসের আগেও ইউক্লিডিয়ান স্পেস, ভেক্টর স্পেস ছিল। হিলবার্ট সেটাকে জেনারালাইজ করলেন। সেটা নতুন গণিতের জন্ম দিল না? কোন কিছু কি আর আকাশ থেকে পরে রে ভাই-সবই সেই মাটিতে বীজ রোপন করলে, তবে জন্মাবে। বিগ ডেটার চাপে টপোলোজিক্যাল ডাটা আনালাইটিক বলে একধরনের নতুন গনিতের জন্ম হয়েছে (http://www.simonsfoundation.org/quanta/20131004-the-mathematical-shape-of-things-to-come/) যার সব কম্পোনেন্ট অবশ্যই আগে ছিল-কিন্ত একত্র করে, জেনারালাইজ করে একটি নতুন ব্রাঞ্ছ তৈরী (http://en.wikipedia.org/wiki/Topological_data_analysis) হল।
Avatar: gabeT

Re: গণিত, সৌন্দর্য্য ও অমরত্ব

তাহলে বলা উচিত ছিল যে গণিতের অমুক এরিয়া প্রায় তার সীমানা ছুঁয়েছে। আপনি তো গোটাগুটি অঙ্ক নিয়েই বলে দিলেন। জ্যাকব লুরির নাম শুনেছেন? পড়ে দেখুন। অঙ্ক বাস্তবের সঙ্গে সম্পর্ক রহিত হতে পারে। CH এর সাথে বাস্তবের কোন যোগ নেই। আসলে অঙ্কে যাকে রিয়েল নাম্বার বলে তার সাথেও নেই। যারা ভাবেন আছে তারা রিয়েল নাম্বারের কনস্ট্রাকশন তাতে AC এর প্রয়োগ একবার ঝালিয়ে নিন।
Avatar: bip

Re: গণিত, সৌন্দর্য্য ও অমরত্ব

ভাই গণিত আমার সাবজেক্ট না। জ্ঞান সীমিত। তাই CH না লিখে খোলসা করে বললে ভাল হয়। আপনি যদি কন্টিনাম হাইপোথিসিসের কথা বলেন, তাহলে বলি অনেকেই CH কে গণিতের মধ্যে ধরেন না। আমেরিকান দার্শনিক সলোমন ফিফারম্যান এটিকে দর্শন শাস্ত্রএর অন্তভুক্ত এবং গণিত বহির্ভূত বলে প্রমান করে ২০১১ সালে কিছু একটা ছাপিয়ছিলেন। নিউজে পড়েছিলাম।

আর রিয়াল নাম্বারের বাস্তবতা নেই-তার উত্তর বলি রিয়াল নাম্বারটাও একটা ভাষা। দেরিদার ডিকনস্ট্রাকশন শুধু ভাষার ওপর না, গণিতের ভাষার ওপর ও খাটে। ভাষা যে ভাবে বাস্তবতাকে উপস্থাপনা করে তার সাথে আসল বাস্তবতার ফারাক থাকবেই। রিয়াল নাম্বার তার ব্যতিক্রম হবে কেন?
Avatar: de

Re: গণিত, সৌন্দর্য্য ও অমরত্ব

লেখাটা ভালোই, তবে তার থেকেও আরো ভালো আলোচনাগুলো -

N কে অনুরোধ করবো যদি সম্ভব হয় আপনার 03 June 2014 22:31:48 IST পোস্টের কমেন্টটাকে নিয়ে একটু ইল্যাবোরেটলি লিখতে! খুব ইচ্ছে রইলো এবিষয়ে আপনার একটা বড় লেখা পড়ার।

গণিত সীমাহীন বলেই এতো সুন্দর - সীমানা কি তাইতো জানা নেই!
Avatar: gabeT

Re: গণিত, সৌন্দর্য্য ও অমরত্ব

বিপের শেষ পোস্টের দ্বিতীয় প্যারা বেশ বলেছেন। তবে প্রথম প্যারার সাথে একমত নই।

আর গণিত কে ফিজিকাল রিয়েলিটি বোঝাবার ভাষা হিসেবে ধরলেই আর পাঁচটা ভাষার মতন প্লেটোয় গিয়ে হাজির হই।
Avatar: lcm

Re: গণিত, সৌন্দর্য্য ও অমরত্ব

Avatar: সুকান্ত ঘোষ

Re: গণিত, সৌন্দর্য্য ও অমরত্ব

স্পুতনিক গাণিতিক কবিতার দাবি করেছেন - একটি বিখ্যাত কবিতা নীচে দিলাম, নাম "ভারতীয় গণিত""

"ক্যালকুলাসের এক সত্য আমি লিপিবদ্ধ করি।
যে কোন ফাংশনের এনেথ্‌ ডেরিভেটিভে এন্‌
সমান বিয়োগ এক বসিয়ে দিলেই
সেই ফাংশনটির ফার্ষ্ট ইন্টিগ্রেশনের ফল পাওয়া যায় -
এনেথ্‌ ডেরিভেটিভে এন্‌
সমান বিয়োগ দুই বসিয়ে দিলেই
সেই ফাংশনটির সেকেন্ড ইন্টিগ্রেশন হয় -
এনেথ্‌ ডেরিভেটিভ এন্‌
সমান বিয়োগ তিন বসিয়ে দিলেই
সেই ফাংশনটির থার্ড ইন্টিগ্রেশনের ফল পাওয়া যায়।
এই ভাবে সহজেই যে কোন অর্থাৎ
দশম বা শততম অথবা সহস্রতম ইন্টিগ্রেশনের
ফল অতি সহজেই পাই।"



Avatar: সুকান্ত ঘোষ

Re: গণিত, সৌন্দর্য্য ও অমরত্ব

আর একটি বিখ্যাত কবিতা - নাম "যুক্ত সমীকরণ"

"যে কোন গণিতসূত্র নিয়ে তার পরিবর্তীদের
বাঁ পাশে আনার পর সে সমীকরণে
সমান চিহ্নের পরে - ডান পাশে শূন্য হয়ে যায়।
এইভাবে কতিপয় যত খুশি সূত্র নিয়ে এ গুলি বামপার্শ্বগুলি
গুণ করে শুধুমাত্র একটি সমীকরণ সহজেই পাই
যার ডান পাশ শূন্য, শূন্যের সমান।
সদ্য উল্লিখিত এই একটি সমীকরণ জ্যামিতিতে রূপায়িত হলে
অনেক পৃথকরূপ পৃথক পৃথক চিত্র পাওয়া যায় সর্বদাই পাই।
মূল সমীকরণের - আলাদা আলাদা সব সমীকরণের
আলাদা সকল চিত্র একীভূত সমীকরণের
জ্যামিতিক রূপায়নে পাওয়া যায়, তার মানে অনেক সূত্রকে
একীভূত করা যায় কেবল একটি মাত্র করে ফেলা যায়।
তাতে আমাদের কিছু লাভ হয় এখানে আমার বৌ রাধা
এই লিখে রাখা ভালো সবার অবগতির জন্যই নিশ্চয়।"


Avatar: swarnendu

Re: গণিত, সৌন্দর্য্য ও অমরত্ব

gabeT বাবুকে,
"অঙ্ক বাস্তবের সঙ্গে সম্পর্ক রহিত হতে পারে।" এইটা একটু বিশদে লেখা সম্ভব কি? বল বা চৌম্বক বলরেখা বাস্তব নয় বলে কেউ পদার্থবিদ্যাকে বাস্তবের সাথে সম্পর্করহিত বলেন কি? সেগুলোর মতই রিয়েল নাম্বার তো একটা অ্যাবস্ট্রাক্ট কন্সেপচুয়ালাইজেশন।
আর চমস্কির মতে ভাষার একটা অংশ, যেটা সব ভাষার বেসিক, সেই ইউনিভার্সাল গ্রামার বোঝার ক্ষমতা মানুষের ইনেট... গনিতের ক্ষেত্রেও তাই এমন কেউ দাবি করেছেন বলেজানি না। তাই গণিতকে ভাষা বলাটায় বেশ গোলমাল লাগছে। আর তাইতে দেরিদা আনাটা নিঃসন্দেহে দৃপ্ত ভঙ্গিতে ভুলভাল বকা ।
Avatar: সুকান্ত ঘোষ

Re: গণিত, সৌন্দর্য্য ও অমরত্ব

সংখ্যার 'আবিষ্কার' বা 'উদ্ভব' নিয়ে অনেকে বললেন - অনেক কিছু নতুন জানতে পারলাম। N কিছু লিখলেন প্লেটোনিজম্‌ এবং অ্যাবসল্যিউট ট্রুথ নিয়ে - আরো কিছু লিখলে ভালো হয়।

আমার নিজের কাছে ব্যাপারটা বেশ গোলমেলে লাগে - দুই পক্ষই বেশ জোরদার সওয়াল করে। গণিতের ছাত্র না হওয়ার জন্য জানি না এই ব্যাপারে কিছু নিঃস্পত্তি হয়েছে কিনা। তবে এই প্লেটোনিজম জিনিসটা গণিতবিদরা সিরিয়াসলি আলোচনা করলে সেটা কি প্রায় 'দর্শন'-এর এলাকায় চলে যাচ্ছে না? মানে বলতে চাইছি - এই অ্যাবসল্যিউট ট্রুথ নিয়ে বিভিন্ন মতবাদ আদৌ কি গণিতের বিবর্তন কোন ভাবে প্রভাবিত করেছে? এই খানেই মনে হয় 'দার্শনিক' আর 'গণিতবিদ' এর পার্থক্য। অ্যাবসল্যিউট ট্রুথ নিয়ে আলোচনা নতুন দর্শনের জন্ম দিয়ে পারে - কিন্তু পারে কি নতুন গণিতের জন্ম দিতে? আমি উত্তর জানি না - আশা করি যাঁরা জানেন এই ব্যাপারে তাঁরা কিছু বলবেন।

আমি দেখতে পাচ্ছি এই প্লেটোনিষ্ট ভিউ নিয়েই হয়ত জি।এইচ হার্ডি তাঁর বিখ্যাত বই A Mathematician's Apology তে লিখেছিলেন, "317 is a prime not because we think so, or because our minds are shaped in one way or another, but because it is so, because mathematical reality is built that way".

অথচ এই হার্ডি-এর কাছেই আবার 'প্রমান' ছিল প্রায় অন্তিম সবকিছ! তাই যখন রামানুজনের চিঠি তিনি প্রথম পান, রামানুজন তাঁর প্রস্তাবিত জিনিসপত্রে 'প্রমান' জিনিসটা খুব একটা গুরুত্ব না দেওয়ায় হার্ডি খুবই হতাশ ছিলেন। প্রুফ তাঁর কাছে কত গুরুত্ব পূর্ণ সেটা বোঝাতে তিনি নাকি একবার বারট্রান্ড রাসেলকে বলেছিলেন, "If I could prove by logic that you would die in five minutes, I should be sorry you were going to die, but my sorrow would be very much mitigated by pleasure in the proof".

আমার মতে ম্যাথ্যামেটিসিয়ানদের (বা অন্য যে কোন বিজ্ঞানীদেরও) বক্তব্য কোট করে কোন 'দর্শন' এরিয়ার জিনিস পত্র প্রমানের বেশ চাপ আছে। এই ব্যাপারে এঁরা শিল্পী বা খেলোয়ারদের প্রায় সমগোত্রীয় - পরস্পর বিরোধী কথা বার্তা এঁরা প্রায় অনেকেই বলে থাকেন। এঁদের বিচার করা হোক এঁদের কাজ দিয়ে - 'দর্শন' ব্যাপারটা দার্শনিকদের উপরেই ছেড়ে দেওয়া ভালো মনে হয়।
Avatar: bip

Re: গণিত, সৌন্দর্য্য ও অমরত্ব

আমি গণিতের লোক না-গণিত জানিও খুব কম-তবে যে বলে গণিত ভাষা না-তার গণিতে জ্ঞান যে আমার থেকেও অনেক কম-সে ব্যাপারেও খুব বেশী সন্দেহ নেই।
Avatar: swarnendu

Re: গণিত, সৌন্দর্য্য ও অমরত্ব

bip বাবু,
গণিত কে ভাষা বলার গোলমাল নিয়ে আমি একটা যুক্তি দিলাম, সেই যুক্তি নিয়ে কিছু বললে ভাল হত... এমনিই এ আলোচনায় গনিতের জ্ঞান দরকার আছে বলেই মনে হয়না , আপনার আমার গনিতের জ্ঞানের তুলনামূলক বিচারের দরকার আরও নেই । প্রসঙ্গত, আমার গনিতে জ্ঞান খুবই কম সে নিয়ে আমারও সন্দেহ নেই।
Avatar: arbit

Re: গণিত, সৌন্দর্য্য ও অমরত্ব

N এর প্রশ্নগুলো নিয়ে একটি বহু-আলোচিত ও বিখ্যাত প্রবন্ধ-
সবাইকে অনুরোধ করছি পড়বেন।
http://www.dartmouth.edu/~matc/MathDrama/reading/Wigner.html ছোট লেখা।

এখানে বিষয়টা কি? দর্শন, সোসোলজি, এন্থ্রোপোমর[ফিস্ম? আমার মতে এই টইয়ের ডোমেন হল- তাত্ত্বিক পদার্থবিদ্যা। ফিসিক্স আমার প্রিয় সাবজেক্ট বলে নয়। অন্ক নানা জায়গায় কাজে লাগে। সেইসব নিয়ে অনেক মনোগ্রাহী সিনেমা, নাটক , গল্পের বই লেখা হয়েছে, হতেই থাকবে। অন্ক মোটামুটি তিন প্রকার-(১) সামাজিক- যে অন্ক দিয়ে প্রণয় রায় ট্রেন্ড বোঝান, বা আমি শেয়ার মার্কেট বুঝি (২) মনের মাধুরী/বৌদ্ধিক খেলা- কেউ ইচ্ছেমত টপোলজিকাল স্পেস তৈরী করে, তার ওপর থিওরেম প্রমাণ করলেন। বা কেউ দাবার মত একটা খেলা বানিয়ে সেই খেলা জেতার স্ট্রাটেজি বানালেন। এই সব খেলার উৎস মস্তিস্ক।

ভেবে দেখুন (১) আর (২) দুটোরি কেন্দ্রে কিন্তু মানুষ, তার মনের মাধুরী, তার মস্তিষ্ক।
আর এই (১) আর (২) থেকে আলাদা এক কোণে স্বমহিমায় দাঁড়িয়ে (৩) ফিসিক্স, ওবজেক্টিভ রিয়ালিটি। আমাদের (৩) নিয়ে মাথাব্যথা বা বলা ভাল, (২) আর (৩) এর পারশ্পরিক সম্পর্ক নিয়ে।

Avatar: arbit

Re: গণিত, সৌন্দর্য্য ও অমরত্ব

অন্ক মানে জেনেরালিটি, একজন বলেছেন। কিছু নিয়ম, সেগুলো সব জায়্গায় খাটবে। অনেক ক্ষেত্রে (জিওমেট্রিইর এক্সিওম) এই নিয়মগুলো চারপাশের প্রকৃতি থেকে ধার করা। যেটা আশ্চর্য্য, এই জেনারলিটি প্রকৃতিও মেনে চলছে!! মানে এই জেনারলিটির ঝোঁক মনুষ্য মস্তিষ্কের এক বৈশিষ্ট্য হলেও, এই ঝোঁকটাও প্রকৃতি থেকে ধার করা। উল্টো করে বলা যেতে পারে, মনুষ্য মস্তিস্কের এই বিমূর্ততার ঝোক বিবর্তিত হয়েছে ফিসিক্সের নিয়ম মানা প্রকৃতির সাথে বেঁচে থাকার লড়াইয়ে টেকবার জন্য। তাহলে মৌলিকতর প্রশ্ন এটাই, প্রকৃতি নিজে এতটা এব্স্ট্রাক্ট বা জেনারালাইজদ কেন ? এটার জন্য ফিসিক্সের নিয়মের ভেতরে ঢুকতেই হবে।


স্কুলে একবার এক দাদা ভেক্টরের অন্ক দিয়েছিল। আমি বলছিলাম টপিকটা বল, অন্কের ভেক্টর না ফিসিক্সের ভেক্টার সেই বুঝে করব, ফিসিক্সের ভেকটার চ্যাপটার টা এখনো পড়া হয়নি। অন্ক অন্ক আলাদা আর ফিসিক্সের অন্ক আলাদা। খুব বুদ্ধি হলে চারাপশে স্পেস দেখে পিথাগোরাসের সূত্র নামিয়ে দেব। ফিসিক্সে কিছু ফর্মুলা মুখস্ত করতে হবে। কিরকম ফর্মুলা? y=.5 gt2 গোছের। কিন্তু এ তো একটা কোয়াড্রাতিক ইকুএশান। কআতীগরি (২) এ মানুষের তোরী খেলা, ভগবানের বুদ্ধিও মানুষের মত? না এই ইকোয়েশান কি জিওমেতৃর মত কিছু বেসিক (অপেক্ষাকৃত কোন ন্যাচারাল ্‌ এক্সিওম থেকে আসছে? এইটা সাংঘাতিক কঠিন প্রশ্না। যেমন একটা কমন প্রশ্ণ হল কম্প্লেক্স নাম্বারের মত ক্যাতিগরী (২) অন্ক কোয়ান্তাম মেকানিক্সে কেন আগবে? বা, উইগ্নারের গল্পে পপুলেশান এর পাই, আর সার্কেলের পাই কে কনেক্ট করতে পারা-
এটা হয়তো দারূন রহস্যজনক কিছু না (পাই কে এক্টি ইন্ফাইনাইট সিরিজ হিস্বে ভাবুন) । ইন্ট্রিগিং, কিন্তু ঘুম কেড়ে নেবার মত রহস্য না, কিন্তু আগের প্রশ্ন আরো অনেক মৌলিক, এবং আংঘাতিক কঠিন

Avatar: b

Re: গণিত, সৌন্দর্য্য ও অমরত্ব

অংক আংঘাতিক কঠিন। এ বিষয়ে আমিও একমত।
Avatar: Moon

Re: গণিত, সৌন্দর্য্য ও অমরত্ব

Fermat's Last Theorem নিয়ে সদ্য Simon Sing এর লেখা বইটি পড়েছি। অঙ্ক আমার নিজের বিষয় না হলেও, Fermat's Last Theorem বা Goldbach's Conjecture, Poincare Conjecture এর মত বিষয়গুলো নিয়ে পড়তে রীতিমত ভালো লাগে। Reiman Function নিয়ে এর আগে কোনও ধারনাই ছিল না। এই লেখাটা পড়ে সেটা নিয়েও পড়বার আগ্রহ বেড়ে গেল। যদি কোনও অ্যামেচার লেভেল এর বই এর নাম রেফার করে দেন খুব ভালো হয়।
Avatar:  pi

Re: গণিত, সৌন্দর্য্য ও অমরত্ব

তুলতে ইচ্ছে হল। মানে আবার পড়তে।

মন্তব্যের পাতাগুলিঃ [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7]   এই পাতায় আছে 116 -- 135


আপনার মতামত দেবার জন্য নিচের যেকোনো একটি লিংকে ক্লিক করুন