বইমেলা হোক বা নাহোক চটপট নামিয়ে নিন রঙচঙে হাতে গরম গুরুর গাইড ।

এই সুতোর পাতাগুলি [1]     এই পাতায় আছে1--16


           বিষয় : এশার নিয়ে কিছু কথা
          বিভাগ : অন্যান্য
          শুরু করেছেন :dc
          IP Address : 127812.61.893423.33 (*)          Date:31 Oct 2018 -- 04:05 PM




Name:  dc          

IP Address : 127812.61.893423.33 (*)          Date:31 Oct 2018 -- 04:05 PM

r2h এর কথায় এই টই শুরু করলাম। শেষ হবে না বলেই মনে হয়।

প্রখ্যাত ডাচ আর্টিস্ট মরিটজ এশার ও তাঁর "ইমপসিবল আর্ট" এর কথা আমরা সবাই জানি। বিশেষ করে টেসেলশান আর স্পেশিয়াল স্ট্রাকচার নিয়ে তাঁর অনেকগুলো কাজ নিয়ে তো অনেক লেখালিখি হয়েছে। টেশেলেশান মানে হলো কোন একটা সমতল বা প্লেনকে খন্ডিত করা। এশার ১৯৩৬ সালে স্পেন দেশের প্রাচীন Alhambra প্যালেস ঘুরতে গেছিলেন, সেখানে টাইলিং এর কাজ দেখে প্রথম তিনি অনুপ্রাণিত হন। পরে তিনি লিখেছিলেনঃ "গণিত শাস্ত্রে ডিভিশান অফ প্লেন" নিয়ে বহু চর্চা হয়েছে, কিন্তু এটা কি কেবল গণিতেরই বিষয়? আমার মনে হয় গণিত আমাদের একটা দরজা খুলে দিয়েছে, তার ওপারে রয়েছে এক বিশাল উপত্যকা, যেখানে আমরা এখনও প্রবেশ করিনি। গণিতবিদরা দরজাটা নিয়েই গবেষণা করে গেছেন, তার ওপারে যেতে পারেননি" (১)। এই বিষয়ে এশারের প্রথম কাজ "পাখি দিয়ে সমতল বিভাজন" (Regular division of the plane with birds), যাতে তিনি ত্রিভুজ দিয়ে বিভাজন করে দেখিয়েছিলেন। এই সিরিজের আরেকটি ছবি Cycle, যাতে হেক্সাগনাল ডিভিশান বিভাজন এর উদাহরণ পাওয়া যায়।


https://www.imageupload.co.uk/images/2018/10/31/Capture0cfe2.jpg

কিন্তু এই ছবিটির আরেকটা ব্যাপার আছে, সেটা হলো একটা পরিবর্তন বা ট্রান্সফর্মেশান। ছবিটির ওপরের ডান দিক থেকে একদল মানুষ সিঁড়ি বেয়ে নীচে নামছে, ক্রমশ তারা একটা কেওস এর মধ্যে হারিয়ে যাচ্ছে। আবার ছবিটির নীচের বাঁদিক থেকে একদল সাদা মানুষ ওপরের দিকে উঠছে, ক্রমশ তারা একটা অর্ডার সৃষ্টি করছে, যা কিনা ওপরে চতুর্ভুজ বানাতে সাহায্য করছে। অর্থাত কেয়স থেকে অর্ডার, আর অর্ডার থেকে কেয়স, যা নিয়ে এশার এর অন্য ছবিও আছে। ওনার নিজের কথায়, "We adore chaos because we love to produce
order" (২)। এই দিক দেখতে গেলে Cycle বা Metamorphosis সিরিজ শুধু যে সমতল এর মধ্যে অসীম বা ইনফিনিটির হদিশ দেয় তা না, একই সাথে বাস্তব আর অবাস্তব কেও মিশিয়ে দেয় - একদল লোকের সিঁড়ি বেয়ে নামাটা যতোটা বাস্তব, আরেকদল লোকের সেই সিঁড়ির অংশ হয়ে ওঠাটা ততোটাই অবাস্তব। আর এই বাস্তব থেকে অবাস্তবে পরিবর্তনের আরেকটা লেয়ার হলো ছবিটির ত্রিমাত্রিক থেকে দ্বিমাত্রিকে পরিবর্তন - ওপরের অংশ, যেটা আমরা সহজেই বাস্তব হিসেবে বুঝতে পারি, সেখানটা থ্রি ডাইমেনশানাল আর অর্ডারড, নীচের দিকটা, যেক্টা আমরা অবাস্তব বলে বুঝতে পারি, সেখানটা টু ডামেনশনাল আর কেয়টিক।

(১) http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Escher.html

(২) M.C. Escher’s Legacy A Centennial Celebration, by Doris Schattschneider & Michele Emmer (Editors)


Name:  r2h          

IP Address : 785612.119.560112.49 (*)          Date:31 Oct 2018 -- 06:12 PM

আমি কিন্তু টই খোলার সঙ্গে সঙ্গেই পড়েছি, কিন্তু অঙ্কের কঠিন ব্যাপার আছে বলে আলোচনা এগোনোর জন্যে ঘাপটি মেরে বসে আছি।


Name:  dc          

IP Address : 127812.61.893423.33 (*)          Date:31 Oct 2018 -- 07:33 PM

হ্যাঁ এবার একটু অল্প অঙ্কের আলোচনা করে নেওয়া যাক, নাহলে এশারের মজাটা ঠিক উপভোগ করা যাবে না। টাইলিং দুরকম হয়, পিরিয়ডিক আর অ্যাপিরিয়ডিক। পিরিয়ডিক মানে হলো সমতলের যেখান থেকেই দেখা হোক না কেন, একই প্যাটার্ন দেখা যাবে - মানে টাইল গুলোর ট্রান্সলেশনাল সিমেট্রি আছে। মানে কোন একটা দিকে (যেদিকে এই সিমেট্রিটা আছে) অসীম দূরত্ব অবধি প্যাটার্নটাকে রিপিট করা যাবে। ইকুয়েশানের উদাহরন দিলে, আমাদের পরিচিত ফুরিয়ার ট্রান্সফর্মের ট্রান্সলেশান সিমেট্রি আছে, আবার লোরেন্ট্জ ট্রান্সফর্মেশান, যার ওপর ভিত্তি করে দাদু স্পেশান রিলেটিভিটি বানিয়েছিলেন, সেটাতেও দূরত্ব আর সময়কে x <-> ct নিয়মে ট্রান্সফর্ম করলে ট্রান্সলেশনাল সিমেট্রি পাওয়া যায়।

আরেকরকম টাইলিং হলো অ্যাপিরিয়ডিক, মানে যার কোন ট্রান্সলেশনাল সিমেট্রি নেই।

উদাহরন হিসেবে দেখা যাক এই ছবিটা, এশারের Mosaic I, ১৯৫১ সালে বানানোঃ


http://www.imageupload.co.uk/images/2018/10/31/Capture52f14.jpg

এরকম টাইলিং প্যাটার্ন Alhambra প্যালেসেও পাওয়া যায়। যদি এমন এক সেট টাইল পাওয়া যায় যা দিয়ে একটা সমতলকে শুধু অ্যাপিরিয়ডিকালি কভার করা যায়, তাহলে তাদের বলে অ্যাপিরিয়ডিক টাইল। এরকম টাইল সেট পেনরোজ প্রথম আবিষ্কার করেছিলেন। উনি দুধরনের সেট খুঁজে পেয়েছিলেন, সেদুটোর নাম দিয়েছিলেন কাইট আর ডার্ট। এশার অবশ্য পেনরোজের আরো অ্যালজেব্রিক জিওমেট্রিকাল ফিগার ধার করেছিলেন, ট্রাইবার আর পেনরোজ সিঁড়ি। এদুটো নিয়ে পরে আলোচনা করবো। আপাতত অ্যাপিরিয়ডিক টাইলিং এর একটা উদাহরন দি। ১৯৮২ সালে একরম কোয়াসি-ক্রিস্টাল আবিষ্কার করা হয় যাতে এরকম অ্যাপিরিয়ডিক প্যাটার্ন আছে, আবিষ্কারক ড্যান শেকটম্যানকে এর জন্য নোবেল দেওয়া হয় ২০১১ সালে। পেনরোজ আর এশারের হাত ধরে মেটিরিয়াল সায়েন্সের এক নতুন দরজা খুলে গেছে, এখন শুধু উপত্যকাটায় যাওয়া বাকি।


Name:   ফরিদা           

IP Address : 238912.68.5667.141 (*)          Date:31 Oct 2018 -- 09:03 PM

কবেকার এক শারদীয়া আনন্দমেলায় "অসম্ভবের ছবি" বলে এশারের ছবি দেওয়া একটা লেখা পড়েছিলাম।

সেই অন্তহীন সিঁড়ি, পাখি -মাছ। এই টই তে ইঁট পাতলাম।


Name:  Atoz          

IP Address : 125612.141.5689.8 (*)          Date:31 Oct 2018 -- 09:22 PM

হুঁ, আমিও পড়েছিলাম, "অসম্ভবের ছবি ও এশার"। সে এক অপূর্ব ব্যাপার। ঃ-)
ডিসি, ধন্যবাদ, এর ভেতরের গণিত ও বিজ্ঞান তুলে আনছেন বলে। সাগ্রহে অপেক্ষায় রইলাম।


Name:  Atoz          

IP Address : 125612.141.5689.8 (*)          Date:27 Nov 2018 -- 02:51 AM

ডিসি, আর লিখবেন না এটায়?


Name:  খ          

IP Address : 230123.142.34900.151 (*)          Date:27 Nov 2018 -- 09:00 AM

কি হল , ল‍্যাখো।


Name:  dc          

IP Address : 232312.164.011212.125 (*)          Date:27 Nov 2018 -- 09:44 AM

আজ লিখবো।


Name:  শঙ্খ          

IP Address : 2345.110.125612.43 (*)          Date:27 Nov 2018 -- 03:02 PM

আলহামদুলিল্লাহ!


Name:  দ          

IP Address : 2345.108.345623.141 (*)          Date:27 Nov 2018 -- 11:21 PM

আজ আ আ আ জ জ জ
ইনশাল্লাহ!


Name:  Atoz          

IP Address : 125612.141.5689.8 (*)          Date:28 Nov 2018 -- 01:47 AM

ডিসি, হ্যাঁ হ্যাঁ, অপেক্ষায় আছি।


Name:  dc          

IP Address : 232312.164.8945.252 (*)          Date:28 Nov 2018 -- 12:27 PM

এশারের অনেক কাজের মধ্যে অন্যতম বিখ্যাত হলো ওনার ইমপসিবল ফিগারস। মানে ছবিতে দেখলে মনে হবে এরকম তো হতেই পারে, কিন্তু আসলে ওরকম হওয়া সম্ভব না (নাকি আসলেও সম্ভব?) তিনটে উদাহরন দিঃ Belvedere, Waterfall, আর Ascending and Descending। তবে ইমপসিবল ফিগারের ভাবনা কিন্তু এশারের মাথায় প্রথম আসেনি, এর জনক বলা যায় সুইডিশ আর্টিস্ট Oscar Reutersvard।

Belvedere আঁকা হয়েছিল ইমপসিবল কিউবয়েডের ওপর ভিত্তি করে, আর পরের দুটো আঁকা হয়েছিল পেনরোজ স্টেয়ারের ওপর ভিত্তি করে। পরেরটার আবিষ্কারক ছিলেন রজার পেনরোজ আর তাঁর বাবা লিওনেল পেনরোজ। রজার পেনরোজ প্রথম ইমপসিবল ট্রাইবার বানিয়ে তাঁর বাবাকে দেখিয়েছিলেন, তারপর তাঁরা দুজন মিলে আরও কিছু ছবি আঁকেন, শেষে পেনরোজ স্টেয়ারওয়ে এঁকে ফেলেন। এই ছবিটা ওনারা এশারকে পাঠান, এশার এতো মুগ্ধ হন যে নিজের মতো করে দুটো প্রিন্ট বানিয়ে ফেলেন - Waterfall আর Ascending and Descending। মজার কথা হলো, ইমপসিবল ট্রাইবার আমাদের ত্রিমাত্রিক বিশ্বে অসম্ভব হলেও এটার কিন্তু ম্যাথামেটিকাল অস্তিত্ব আছে, বিশেষ করে 3-manifold space এ এই ট্রাইবার বানানো সম্ভব। ধরুন আমাদের পৃথিবীটা একটা বলের মতো, কিন্তু আমরা এতো ছোট যী আমাদের চারপাশটা সমতল দেখায়। তেমনি আমাদের পরিচিত মহাবিশ্বও এই 3-manifold space এর একরকম লিমিট। মানে কয়েক লক্ষ আলোকবর্ষ বড়ো যে প্রাণীরা আছে তারা এই ইমপসিবল ট্রাইবার বানাতে পারবে আর ইমপসিবল সিঁড়ি ধরে ওঠানামাও করতে পারবে। এবার দেখা যাক কেমন সেই সিঁড়ি।


https://pasteboard.co/HPdJztp.jpg


Name:  r2h          

IP Address : 232312.171.452312.134 (*)          Date:28 Nov 2018 -- 01:08 PM


https://cdn.pbrd.co/images/HPdJztp.jpg


Name:  dc          

IP Address : 232312.164.8945.252 (*)          Date:28 Nov 2018 -- 01:09 PM

r2h কে অনেক ধন্যবাদ। কোথায় ছবিটা আপলোড করা যায় খুঁজছিলাম।


Name:  r2h          

IP Address : 232312.171.452312.134 (*)          Date:28 Nov 2018 -- 01:14 PM

https://postimages.org-এ করতে পারেন।
তবে এই ছবিটা আমি আপনার লিংক থেকেই দিলাম; সোর্সে থেকে আসল ঠিকানাটা বের করে।


Name:  de          

IP Address : 90056.185.673423.51 (*)          Date:28 Nov 2018 -- 04:46 PM

বাঃ, খুবই ইন্টারেস্টিং টপিক - চলুক, চলুক -

এই সুতোর পাতাগুলি [1]     এই পাতায় আছে1--16