আপনার মতামত         



একটু ক্যাওস

বিক্রম পাকড়াশী এবং বিদিশা ঘোষ



ডিসক্লেমার

(এই লেখার সহিত জীবিত বা মৃত ব্যক্তির/ব্যক্তিসমূহের সাদৃশ্য খোঁজা বৃথা, আর পাঁচটা বাংলা পপুলার সায়েন্স-ঘেঁষা প্রবন্ধের ন্যায় এটাও মূলত: না বুঝে, বা হাপ বুঝে টুকে দেওয়া একটা জিনিস। এই লেখা পড়ে ক্যাওস বা কেঅস কোনোটাই শেখা যাবে না। লেখা পড়ে ক্যাওস পাকলে লেখক দায়ী থাকবেন না। সব দোষ সম্পাদকের, কারণ দোষ ফেলে রাখতে নেই।)


ওয়েদারম্যান গোলদার

একবার হলো কি, ১৯৬০ সালে এডওয়ার্ড লোরেঞ্জ বলে একজন আবহাওয়াবিদ মনোযোগ দিয়ে পুরানো ডেটার সাহায্যে ভবিষ্যতের আবহাওয়া বের করার প্রবল চেষ্টা চালাচ্ছিলেন। ওনার কাছে ছিল একটা কম্পিউটার, আর ছিলো এক ডজন ইকোয়েশান (সমীকরন) - এই তেরোটা জিনিস দিয়ে উনি থিওরিটিকালি কালকের দিনটি কেমন যাবে তার আভাস দেবার তালে ছিলেন। এবং এইসমস্ত কঠিন কঠিন অঙ্ক কষে ওনার দিন ভারী সুন্দর কেটে যাচ্ছিলো। কিন্তু সুখে থাকতে যেহেতু ভূতে কিলোয়, ১৯৬১ সালে ওয়ান ফাইন মর্নিং ওনার মনে হলো - আচ্ছা এই যে ওমুক পুরানো ডেটা ইনপুট করে কিরকম রেজাল্ট পাচ্ছিলাম সেটা আরেকবার দেখি তো। সুবিধে এই যে, অঙ্কখানা যেহেতু আগেই কম্পিউটারে কষা, মধ্যে মধ্যে বিভিন্ন ধাপে কত কত ভ্যালু এসেছে সেলো তো সব জানা। তাই একেবারে গোড়া থেকে শুরু না করে একটা মাঝামাঝি জায়গা থেকে ব্যাপারটা কষলেই চলবে - কতো সময় বাঁচে না? আর এ কম্পিউটার কি এখনকার কম্পিউটার, তখন তো আবার আউটপুট মানেই হলো ঝরঝর করে কাগজে প্রিন্টআউট বেরোচ্ছে। তা লোরেঞ্জ সাহেব সেই পুরোনো কষে ফেলা প্রিন্টআউটের মাঝামাঝি জায়গা থেকে প্রোগ্রাম চালিয়ে বাতাস খেয়ে আসতে গেলেন। এসে দেখেন কিমাশ্‌চর্যম- যেরকম প্যাটার্ন বেরুনোর কথা ছিলো, মানে গেলবার যা বেরিয়েছিলো এবারে তার থেকে এক্কেবারে আলাদা উত্তর বেরিয়েছে - একই অঙ্কে এত রূপ। অথচ অঙ্ক কষায় ভুল নেই। অত:পরম?

অনেক খোঁজাখুঁজির পর দেখা গেলো যে আগের বারের অঙ্কে কম্পিউটারে দশমিকের পর ছয় ঘর অবধি সমস্ত সংখ্যা রাখা ছিলো - আর এইবারে কাগজ বাঁচাতে লোরেঞ্জ নিয়েছিলেন দশমিকের পর তিন ঘর অবধি। যা গতবার ছিলো ০.৫০৬১২৭ তা পরের বারে নেওয়া হয়েছিলো ০.৫০৬। মনে করুন না ইন্ডিয়া পাকিস্তানের ম্যাচ ইডেন গার্ডেন্সে। কলকাতা শহর ভেঙে পড়েছে। আপনি আণ্ডাবাচ্চা-গেঁড়িগুঁড়ি নিয়ে সুদূর নৈহাটি থেকে ট্রেনে চেপেছেন এবং দমদমে ফেঁসে গেছেন। সপরিবারে মাঠে পৌঁছোতে পৌঁছোতে পাঠান আর জাহিরের দুটো দুটো করে ওভার হয়ে গেলো, শেষ বলে ইমরান ফরহাত তিন রানের মাথায় ক্লিন বোল্ড। জনতার সিংহনিনাদে গলা মেলাতে না পারার জন্য আপনার (বহুবচন) খুব রাগ-দু:খ ইত্যাদি হলেও মাঠের আওয়াজের ডেসিবেল কতখানি আর বদলায়? ০.৫০৬১২ আর ০.৫০৬ এর পার্থক্যটা এক লক্ষ লোকে ভর্তি ইডেন গার্ডেন্সে আপনার বাড়ির বারো তেরো জন লোকের থাকা আর না থাকার তফাতের মতোই।

বাস্তবে একজন বিজ্ঞানী এক্সপেরিমেন্টালি তিন ঘর অবধি অ্যাকিউরেসি খুব কষ্ট করে পায় - পাঁচ ছয় ঘর অবধি যাওয়া তো প্রায় অসম্ভব। কিন্তু লোরেঞ্জ দেখালেন যে, শুরুতে মাত্র .০০০১ মানের পার্থক্যেই পুরো সিস্টেমটা ফুলের ঘায়ে মুচ্ছো যেতে পারে, এবং কোথায় কিভাবে যাবে সে কথা আগে থেকে কেউ বলতে পারে না। এই পুরো ঘটনাটার নাম দেওয়া হয়েছিলো বাটারফ্লাই এফেক্ট।

ইয়ান/আয়ান স্টুয়ার্টের একটা বই আছে -" ডাজ গড প্লে ডাইস? - দা ম্যাথেম্যাটিক্স অফ কেঅস' বলে। তাতে উনি লিখছেন যে - প্রজাপতির পাখা নাড়ানোয় তার চারপাশে কি সামান্য পরিবর্তন হয়, কিন্তু সেই সামান্য পরিবর্তনই পৃথিবীর পরিবেশের ভারসাম্যকে নাকি সম্পূর্ণ বিগড়ে দিতে পারে! ধরা যাক আলিপুর চিড়িয়াখানায় একটা হলদে প্রজাপতি পাখা নাড়িয়েছে, ব্যাস! অমনি হয়তো সেই পাখা নাড়ানোর চোটে নিউ অর্লিন্সে একটা টর্নাডো হয়ে গেলো। কিম্বা হয়তো ওয়েন্ট ইন্ডিজে একটা বিরাট ঝড় আসার কথা ছিলো, সেটা মাঝপথেই কাউকে কিচ্ছু না বলে ফুস!

এতটা কাব্য থেকে গোদা বাংলায় যা বোঝা গেলো সেটা হলো এই যে, লোরেঞ্জের কাছে যে ডজনখানেক সমীকরন ছিলো তারা খুব মজাদার ও অদ্ভুত। তারা যে সিস্টেমকে বর্ণনা করছে, সেই সিস্টেম শুরুতে কি অবস্থায় রয়েছে তার ওপর সমীকরনগুলো ভয়ংকরভাবে নির্ভরশীল। শুধু কি তাই? সিস্টেমটা একেবারে শুরুতে ঠিক কি অবস্থায় থাকবে সেটাও আবার দুম করে বলা যাবে না। এক্সপেরিমেন্টে, কি যন্ত্রে , কি কাজের সময় একচুল এদিক থেকে ওদিক হলেই তার সময়ের সংগে বিবর্তন একেবারে অন্যরকম হবে। ধরা যাক শুরুতে ২.০০০০ দিয়ে যে উত্তর এলো,২.০০০১ দিয়ে শুরু করলে তা পুরো বদলে যাবে। এইসব ঘটনা দেখে লোরেঞ্জ বলেছিলেন যে না:, আবহাওয়ার পূর্বাভাস দেওয়া সম্ভব না।

যাই হোক, হাল কিন্তু উনি ছেড়ে দিলেন না। ঐ বারোটা সমীকরনের মধ্যে কয়েকটা ছিলো পরিচলন বা কনভেকশানের। যেভাবে চায়ের জল ফুটোনোর সময় পাত্রে নিচের ঠাণ্ডা, ভারী জল গরম আর হাল্কা হয়ে ওপরে উঠে আসে আর ওপরের অপেক্ষাকৃত কম গরম জল নিচে নেমে আসে - সেই ব্যাপার আর কি। এই সমীকরনলোকে উনি সহজ থেকে সহজতর করতে করতে এমন এক জায়গায় নিয়ে গেলেন যখন আর সমীকরনলোর সঙ্গে এইসব গরম ঠাণ্ডার বিশেষ কোনো সম্পর্কই রইলো না। কিন্তু তখনো শুরুর মানের ঐ সামান্য পরিবর্তনে উত্তরের অসামান্য তারতম্য হতে থাকলো।

এই নতুন ও সহজ সিস্টেমটিতে ছিলো মোট তিনটি সমীকরন এবং পরবর্তীকালে দেখা গেলো যে সমীকরনগুলো এইবারে হলো একটি ওয়াটার হুইল বা জলচক্রের সমীকরন। জলচক্র জিনিসটা বেশ অনেকদিনের পুরনো একটা যন্ত্র। অনেকলো ছোটো ছোটো কৌটো বা প্যাডেল কাঠের চাকার গায়ে লাগিয়ে নদী কি ঝর্নার স্রোতকে ধরে বেশ খানিকটা কাজ করিয়ে নেওয়া যায়। যীশুর জন্মের চারশো বছর আগেও এই যন্ত্র ব্যবহার করে বাড়ির মেয়েরা ময়দা পিষতো। উনিশ শতকে অবধি ইংল্যান্ডের জায়গায় জায়গায় বহু জলচক্র ছিলো - শোনা যায় শিল্পবিপ্লবের সময় সে স্টীম-ইঞ্জিনকে পর্যন্ত বেগ দিয়েছিলো। এখনও ট্রেনে যেতে যেতে জানলা দিয়ে মাঝে মাঝেই লোককে এই সাতপুরোনো চাকা ঘুরিয়ে জমিতে জল দিতে দেখবেন। চিত্র ১ এ একটি জলচক্রের ছবি দেওয়া হলো।

চিত্র ১ - সহজ জলচক্র

ÏL OV®R HC Q®œ²? Q¡L¡l N¡®u ®k ®Q±®L¡ h¡ÏV¬®m¡ m¡N¡®e¡ B®R a¡l j®dÉ Jfl ®b®L Sm fs®Rz Bl h¡ÏV¬®m¡l j®dÉ ®R¡®V¡ ®R¡®V¡ g¤®V¡ B®R k¡ Ïc®u Sm ®hÏl®u k¡®µRz Jf®ll h¡ÏV¬®m¡ Sm i®l i¡l£ q®u ®N®m Ïe®Q ®e®j Bp®R Bl Q¡L¡ ®O¡l¡l p¡®b p¡®b Ïe®Ql q¡ó¡ h¡ÏV¬®m¡ Jf®l E®W k¡®µRz

HMe Sm kÏc M¤h d£®l d£®l Jfl ®b®L f®s a¡q®m Jf®ll h¡ÏV¬®m¡ ÏLR¤®aC S®ml JS®e Q¡L¡öܤ O¤®l ®k®a f¡®l e¡z ÏL¿º h¡ÏV¬®m¡ a¡s¡a¡Ïs il®m SmiÏaÑ h¡ÏVl JS®e Q¡L¡V¡ O¤l®a b¡®Lz Bh¡l Sm kÏc Ha ®hÏn a¡s¡a¡Ïs f®s ®k h¡ÏV¬®m¡ M¡Ïm qh¡l B®NC Q¡L¡V¡ HL Q‚l O¤®l H®m¡, a®h ÏL¿º ph LV¡ h¡ÏV HLp¡®b B®Ù¹ B®Ù¹ i®l EW®h, Q¡L¡ nÔb q®u Bp®h , HL pju ®b®j k¡®h J a¡lfl E®ÒV¡Ïc®L O¤l®a öl¦ Ll®hz

hÉ¡f¡lV¡ ö®e kÏcJ ®hn ®h¡dNjÉ j®e q®µR , HCph ®O¡l¡O¤Ïll pj£Lle Ïm®MÏV®M fËb®j j®e q®uÏR®m¡ ®k Q¡L¡ ®L¡eÏc®L O¤l®h, L®a¡V¡ O¤l®h Bl La ®S¡®lC h¡ O¤l®h, h¡ BlJ pqS Lb¡u HC Q¡L¡ O¤Ïl®u BfÏe LaV¡ juc¡ Ïfo®a f¡l®he ®pV¡ pÇf§ZÑ H®m¡®j®m¡ h¡ lÉ¡äj i¡®h OV®Rz NË¡g Hy®L ÏL¿º AeÉ hÉ¡f¡l ®cM¡ ®N®m¡ - ®k Q¡L¡l es¡Qs¡ ph pju HLV¡ ÏeÏcÑø SÉ¡ÏjÏal j®dÉ b¡®Lz Hl B®N ®m¡®L S¡e®a¡ ®k ÏhÏiæ Ïp®ØV®jl pj£Ll®el pj¡d¡e¬®m¡ qu pj®ul p®Â fÏlhÏaÑa q®u ÏØba¡hØb¡u ®fy±®R¡®h h¡ ÏeÏcÑø pju flfl Ïe®S®cl ÏlÏfV Ll®h -ÏL¿º ÏL¿º ®m¡®l®”l Ïp®ØV®jl ®r®œ ®cM¡ ®N®m¡ ®k p¤ÏeÏcÑø Ïeuj ®j®eJ pj¡d¡e¬®m¡ LMeC Ïe®S®cl ÏlÏfV Ll®R e¡z SmQ®œ²l HLV¡ Aem¡Ce Ïpj¤®mn¡e ®cM¡l SeÉ http://public.globalnet.hr/~gvlahovi/lorenz/lorenzww_eng.htm সাইটে চলে যান। সমাধানগুলোর জ্যামিতির নাম লোরেঞ্জ দিলেন লোরেঞ্জ অ্যাট্র্যাক্টার এবং সেটা এইরকম দেখতে হলো (চিত্র ২) :

চিত্র ২ - লোরেঞ্জ অ্যাট্র্যাক্টার

HCph OVe¡ Ïe®u ®m¡®l” 1963 p¡®m N®hoZ¡fœ fËL¡n Ll®me HLÏV Bhq¡Ju¡ pwœ²¡¿¹ S¡e¡Ñ®m - L¡le EÏe ®a¡ Bl jÉ¡®bjÉ¡ÏVÏnu¡e h¡ ÏgÏSÏpØV eez a¡C JV¡ Aˆ h¡ ÏgÏS®„l ®L¡®e¡ S¡e¡Ñ®m ®hl Ll¡ ®N®m¡ e¡z Hl g®m A®eL f®l kMe Aˆ J ÏgÏS®„l ®m¡®L HV¡ BÏh×L¡l Ll®m¡ aMe Je¡l e¡j S¡e¡ ®N®m¡z ®m¡®l” HLÏV ¯hfÔÏhL BÏh×L¡l L®lÏR®me, a¡lflJ AhnÉ Je¡®L A®fr¡ L®l ®k®a q®m¡ LMe AeÉ ®m¡®L ®pV¡ BÏh×L¡l Ll®hz

ÏSfÏp jb J S¡Ïmj c¤Ïeu¡

B®Nl NÒf ®b®L ®j¡VLb¡ ®h¡T¡ ®N®m¡ ®k HLV¡ ®f®l®Ll Ai¡®h S¤®a¡ q®m¡ e¡, S¤®a¡ ®eC h®m ®O¡s¡ q®m¡ e¡, ®O¡s¡l Ai¡®h ®O¡spJu¡l f¡Ju¡ ®N®m¡ e¡, a¡C SeÉ k¤ÜSu q®m¡ e¡ Hhw k¤®Ü ®q®l ÏN®u l¡S¡ l¡SÉ q¡l¡®me Bl ÏhÏiæ Aˆ Bl ÏgÏS®„l j®dÉ LÉ¡Jp e¡ ÏLph ®cM¡ ®N®m¡z Aˆ Bl ÏgÏS®„l c¤Ïeu¡l Ïhj¤aÑ LQLÏQl h¡C®l ÏL HC hÙ¹¤l AÏÙ¹šÄ B®R? Bj¡®cl Q¡lf¡®nl S£hSN®a HLV¤ ®Q¡M l¡M¡ k¡Lz

BÏj BfÏe QmÏa Lb¡u k¡®L jb hÏm CwÏlÏS®a L¡uc¡ L®l a¡®LC h®m ÏSfÏp jbzÏae eðl RÏhÏV (ÏQœ 3) HLV¡ öy®u¡®f¡L¡l k¡ ®b®L ÏSfÏp jb ®h®l¡uz Bcjp¤j¡l£l hc®m H®cl p¤j¡l£ Ll®m HLV¡ Aá¤a OVe¡ ®cM¡ k¡u k¡l ®j¡V¡j¤ÏV Q¡l®V d¡fz fËb®j H®cl pwMÉ¡ ®hn Bu®šl j®dÉC h¡®sz a¡lf®l Ïàa£u d¡®f h¡s®a h¡s®a H®cl hªÏÜl q¡l Ha ®hÏn q®u k¡u ®k öy®u¡®f¡L¡u öy®u¡®f¡L¡u c¤Ïeu¡ Rum¡fz ®pC ö®uy¡®f¡L¡l l¡h®el hwn B®pf¡®nl N¡Rf¡m¡l ph f¡a¡f¤a¡ ®M®u p¡g L®l ®cuz g®m M¡h¡®ll Ai¡®h aªa£u d¡®f Bh¡l H®cl ff¤®mn¡e L®j B®p z Bl ®no d¡®f Lj®a Lj®a a¡®cl hwn dÄwp quz

চিত্র ৩ - জিপসি মথ শুঁয়োপোকা

B®Nl Aw®nl ®pC h¡mÏal Ec¡qleV¡ j®e B®R - Sm B®Ù¹ fs®m Q¡L¡ e®s e¡, B®lLV¤ ®S¡®l fs®m ®O¡®l, Bh¡l M¤h a¡s¡a¡Ïs fs®m ®b®j ÏN®u E®ÒV¡Ïc®L O¤l®a b¡®L? ÏSfÏp j®bl p®Â hÉ¡f¡lV¡l ®hn HLV¡ a¤me¡ Ll¡ ®k®a f¡®lz ÏSfÏp j®bl pwMÉ¡hªÏÜ S£hSN®a LÉ¡J®pl HLV¡ M¤h Q¡m¤ Ec¡qlez H®cl N®Òf f®l BpÏR, B®N HLV¤ ®c®M ®eC ®k SepwMÉ¡ hªÏÜl ÏLR¤ V¤ÏLV¡ÏLz

ÏLR¤ L¡W®hs¡m£ ®N¡e¡ k¡Lz j®e Ll¡ k¡L HMe pjuV¡ 1980 h¡ 1410 h¡ k¡ M¤Ïn, Ab¡Ñv t । এই মুহূর্তে একটা কাঠবেড়ালী কলোনিতে রয়েছে pt খানা (পপুলেশান) কাঠবেড়ালী। মনে করি তার পরের কোনো এক সময়ে, ধরা যাক এই ১৯৮১ সাল নাগাদ (অর্থাৎ t+1 ) তাদের সংখ্যা pt+1 । টমাস ম্যালথাস বলেন যে কাঠবেড়ালীর সংখ্যা অঙ্কের হিসেবে একেকবারে বাড়বে এইভাবে,

pt+1 = r x pt


মাঝের ঐ r বস্তুটা হলো ম্যালথাসের ফ্যাক্টর অথবা যতন করে, যে রেটে কলোনীতে কাঠবেড়ালীর সংখ্যা বাড়ছে।

এবারে মনে করি শুরুতে বিভিন্ন পরিবেশে, বিভিন্ন কলোনীতে ২ টো করে কাঠবেড়ালী ছিলো - রোগা, কালো, ফসসা, বেঁটে, মিচকে ইত্যাদি। তারা একেক পরিবেশে একেক রেটে বাচ্চা পয়দা করে। করলে কি হয়? চিত্র ৪ দেখা যাক।

চিত্র ৪ - ম্যালথাসীয় সংখ্যাবৃদ্ধি

ÏL iu¡eL hÉ¡f¡l- ®L¡b¡ ®b®L ®L¡b¡u ®h®s®R L¡W®hs¡m£! Bl HC ®h®s Qm¡l dleV¡J ®cM¡ k¡®µR HLC lLjz B®l¡ ®cM¡ k¡®µR ®k, ÏhÏiæ fÏl®h®n L¡W®hs¡m£l pwMÉ¡ hRl fyÏQ®nL f®l ®j¡V¡j¤ÏV HL q®mJ hRl QÏõ®nL f®l ÏL¿¹ H®Lh¡®l BL¡n f¡a¡m f¡bÑLÉz mrÉ Ll¡l Ïhou HC ®k ®pC BL¡n f¡a¡m ag¡a qJu¡ p®šÄJ fËÏaÏV ®r®œ hªÏÜl q¡l ÏL¿º fË¡u pj¡ez ÏL¿º HlLj i¡®h ÏenÚÏQ®¿¹ ÏL Bl S£hS¿ºl pwMÉ¡hªÏÜ qu? ®kM¡®e fËQ¤l M¡h¡l, ®LE O¡s jVL¡h¡l ®eC, ®l¡N®i¡N ®eC, ®pC c¡l¦e c¤Ïeu¡u Hi¡®h Hph q®aJ f¡®lz mÉ¡®h¡®lV¡Ïl®a A®eL pju Ïh‘¡e£l¡ HLcj f¡®gу LÏän¡®e hÉ¡®ƒÏlu¡l ®NË¡b OV¡e, aMe Hje hªÏÜ ®cM¡ k¡uz

h¡Ù¹®h hý S£hS¿ºl pwMÉ¡C ®cM¡ ®N®R HLV¡ ÏØba¡hØb¡u b¡®L Hhw M¤h HLV¡ fÏlhaÑe L®l e¡z HClLj hªÏÜl SeÉ ®L¡eJ pj£Lle f¡Ju¡ k¡u e¡? k¡u, ÏWL HjeC HLV¡ pj£Lle 1846 p¡®m Ïf®ul gËy¡®p¡u¡ ®ilýmØV Hl L¡R ®b®L H®m¡z Je¡l hš²hÉ fÏl×L¡l, fs¡öe¡ Ll®a Ll®a fËb®j M¤h ®S¡n B®p Bl a¡lfl ®hËe fË¡u pÉ¡Q¤®ln¡®e H®p ÏTÏj®u f®sz B®l h¡h¡ ®hË®elJ ®a¡ HLV¡ ÏmÏjV B®R! ®aje HC dl¡d¡®j LV¡ h¡O, LV¡ N™¡l, LV¡ j¡e¤o, LV¡ Bj¡ÑÏX®m¡, LV¡ ÏSfÏp jb Hhw LV¡ L¡W®hs¡m£ b¡L®h a¡ ÏQœ®çl M¡a¡u B®N ®b®LC ®e¡V Ll¡ B®Rz p¤al¡w S£®hl pwMÉ¡hªÏÜ öd¤j¡œ ®pC j¤q§®aÑl pwMÉ¡l Jf®lC eu hlw ®pC ÏQœ®çl ®e¡V Ll¡ eð®ll ®b®L ®pV¡ L®a¡ c§®l B®R a¡l Jf®lJ ÏeiÑl L®lz

dÏl HLV¡ L¡W®hs¡m£ pj¡®Sl BS k¡ AhØb¡ a¡®a K সংখ্যক কাঠবেড়ালীর বেশি থাকাই সম্ভব নয়। সেটা ১০০০, কি ১০০০০ কি ২৫০০ হবে সেটা সেই চিত্রপ্তের থুড়ি পরিবেশের হাতে। কাঠবেড়ালীর সংখ্যা যত K এর কাছে আসবে, তত তার বৃদ্ধির হার কমে যাবে। সেই ভাবে যদি ভাবা হয় তবে কিন্তু জন্তুর সংখ্যাবৃদ্ধির প্যাটার্ন অনেক বদলে যাবে (চিত্র ৫)। একটা ইংরিজির s এর মতো দেখতে জিনিস পাবো।

চিত্র ৫ - ভেরহুলস্ট এর কথামতো যা ঘটছে

a®h H ÏLe¡ p®h LÏml p®åÉ, L¡le HCph ®p¡S¡ plm j®Xm¬®m¡l j®dÉ A®eL¬®m¡ gÉ¡Ls¡ ®Y¡L¡®e¡ ®k®a f¡®lz ®R®m, h¡h¡ Bl c¡c¤l ®S¡nJ HL eu Bl ®j®u, j¡ Bl ÏcÏcj¡l h¡µQ¡ f¡s¡l rja¡J HL euz B®Nl j®Xm®m¡®a Hph Lb¡ i¡h¡C qu Ïez Hph Lb¡ kÏc i¡h®a qu, a®h ÏhÏiæ h®up J fËS¾j®L S¡uN¡ Ïc®a Bl hwnhªÏÜ öd¤ B®Nl j®X®ml j®a¡ ff¤®mn¡®el pwMÉ¡l Jf®lC eu, a¡l p¡®b B®l¡ ®hn L®uLV¡ eÏal Jfl ÏeiÑln£m q®hz aMe HC AwLV¡ M¤h LÏWe q®u fs®hz Bl S®m ®a¡ öd¤ L¡W®hs¡m£ HL¡ ®eCz a¡C AhnÉC AeÉ L¤®Q¡ S¿ºl p®Â a¡l fËÏa®k¡ÏNa¡J b¡L®hz Bh¡l AeÉÏc®L b¡L®h M¡cÉ M¡cL pÇfLÑz M¡cL ®hÏn q®u ®N®m a¡®cl M¡cÉ L®j k¡®h, Bh¡l Lj M¡cL b¡L®m M¡cÉ ®f®a p¤Ïhd¡ (HC Ïe®u ®m¡VL¡ J im®al¡ h®m c¤S®el M¤h p¤¾cl ÏLR¤ pj£Lle B®R) z ka ®hÏn ÏSÏep pð®å Bjl¡ S¡e®h¡ Hhw ka ®hÏn ÏSÏe®pl H®gƒ HC pwMÉ¡hªÏÜ®a fs®h, aa nš² nš² pj£Lle ¯aÏl q®hz

A®a¡ T¡®jm¡u e¡ ÏN®u Bjl¡ hlw ®ilýmØV Hl Lb¡ Ïe®u B®lLV¤ e¡s¡Oy¡V¡ Ll®h¡z HLV¡ hÉ¡f¡®l B®N ÏpJl q®u ®eC, ®k I r বস্তুটা ০ এর চেয়ে কম হতে পারে না। কারন একটা কাঠবেড়ালী কলোনিতে সব ব্যাটা বড়োজোর মরে ভূত হয়ে গিয়ে আমাদের সমস্ত সমীকরন-টমীকরনকে ০ করে দেবে, কিন্তু নেগেটিভ তো আর হতে পারবে না! এখন যদি ঐ r জিনিসটা ০ থেকে ১ এর মধ্যে হয় তখন? ঠিক আজকাল যেমন চীনে বাপমা দুয়ে মিলে মোটে একটা করে বাচ্চা বিয়োতে পারে। তখন অঙ্কের হিসেবে কাঠবেড়ালীরা কমতে থাকবে, এবং কমতে কমতে একদিন তারা আর থাকবে না, বিলুপ্ত প্রজাতি হয়ে যাবে (চিত্র ৬)। তাবলে চীনারা কিন্তু বিলুপ্ত হবে একথা মোটেও বলছি না ।

চিত্র ৬ - কমে যেতে থাকা কাঠবেড়ালী

HÏc®L Bh¡l kMe r এর মান ১ থেকে ৩ এর মধ্যে থাকবে তখন আমরা ঐ ৭ নম্বর ছবির মতো কিছু গ্রাফ পাবো। তবে এইসব ক্ষেত্রে ঠিক কোথায় গিয়ে সংখ্যাটা স্যাচুরেট করবে সেটা বৃদ্ধির হারের ওপর নির্ভরশীল হবে ,এবং কতোয় গিয়ে স্যাচুরেট করবে সেটাও। সংখ্যাটা ২.৪ এর ওপরে এবং ৩ এর যত কাছে যেতে থাকবে, সময়ের সঙ্গে কাঠবেড়ালীর সংখ্যা একটু ওঠানামা লাফালাফি করলেও ক্রমশ: দিব্যি শান্ত হয়ে আসবে (চিত্র ৭)। এবং এটাও ঘটনা যে কলোনিতে যটা কাঠবেড়ালীই শুরুতে থাকুক না কেন, হরে দরে গিয়ে শেষে তারা পৌঁছোবে একই সংখ্যায়। ৭ আর ৮ নম্বর ছবি (চিত্র ৮) দুটো দেখুন।

চিত্র ৭ - ১ থেকে ৩ এর মধ্যে


চিত্র ৮- যত দিয়েই শুরু করি না কেন শেষে সেই একই সংখ্যা

a®h ®kC ÏLe¡ r এর ভ্যালু ৩ হয়, একটা দুর্দান্ত ব্যাপার দেখতে পাওয়া যায়। কাঠবেড়ালীর সংখ্যা আর এক জায়গায় গিয়ে স্যাচুরেট করে যায় না, বরং সময় যত এগোয়, সে তত দুটো সংখ্যার মধ্যে ক্রমাগত দুলে যেতে থাকে। এটাকে বাড়িয়ে ৩.৪৪৯৫ এ যাওয়া মাত্র সেটা চারটে সংখ্যার মধ্যে লাফাতে থাকে, ৩.৫৬ এ যা কিনা বেড়ে আটটা আর ৩.৫৯৬ এ গিয়ে ষোলোটা হয়ে যায় (চিত্র ৯)। আরো বাড়ালে কি হবে?

চিত্র ৯ - স্যাচুরেট করছে না - লাফাচ্ছে খালি

hªÏÜl q¡l 3.7 H ®fy±®R¡®m HLV¡ jÉ¡ÏSL quz Hl fl ®b®L hwnhªÏÜl Jf®l H®Lh¡®lC Bl ®SÉ¡Ïao£ Ll¡ k¡u e¡, ®p Ïe®Sl j®a¡ J®W e¡®j H®LL h¡®l H®LLlLj i¡®h, Hhw ®pV¡ B®N ®b®L ÏLpɤ hm¡ k¡u e¡ L¡le r এর মান খুব সামান্য পরিবর্তন করলেই সময়ের সঙ্গে বংশবৃদ্ধি সম্পূর্ন অন্যরকমভাবে ঘটে। কখন কি হয় কেউ বলতে পারে না (চিত্র ১০)। এইটা হলো ক্যাওসের নমুনা।

চিত্র ১০- ৩.৭!

Bl HC c¤C ®b®L Q¡l Q¡l ®b®L BV L®l ®k m¡gTy¡f q®m¡, ®pV¡®L kÏc pwMÉ¡hªÏÜl q¡®ll p®Â Hy®L ®gÏm a¡q®m f¤®l¡ RÏhV¡ q®h HClLj (ÏQœ 11)

চিত্র ১১ - দুই থেকে চার, চার থেকে আট

HÏc®L ÏSfÏp j®bl ÏL q®m¡? I L¡WÏhs¡m£®a ÏSfÏp jb hp¡®mC Qm®h Bl ÏLz


LÉ¡mL¤®mV¡®l LÉ¡Jp Hhw AeÉ¡eÉ ®Mme¡

LÏÇfEV¡l Ïe®u L¡S Ll¡l A®eL T¡®jm¡z LÉ¡mL¤®mV¡®l h®p TV L®l ÏLi¡®h LÉ¡Jp ®cM¡ k¡u ®cÏMz 2 Hhw -2 Hl j®dÉ ®k®L¡®e¡ HLV¡ pwMÉ¡ i¡h¡ k¡L, dÏl Hl e¡j x1 । এর বর্গ করে তার থেকে ২ বাদ দিতে হবে এবং যা পাওয়া যাবে তার নাম মনে করি x2 । এবারে সেটাকে বর্গ করে তার থেকে ২ বাদ দিয়ে পাবো x3 । এইভাবে প্রায় গোটাচল্লিশেক সংখ্যা নিতে হবে। যেই শেষ হলো, এবারে একটা নতুন x1 , যা কিনা আগেরটার থেকে সামান্যই আলাদা (আগেরটা ০.৪ হলে এবারে ০.৪০০১) সেটা নিয়ে আবার ঐ একইরকমভাবে চল্লিশটা সংখ্যা বের করতে হবে। এবারে পাশাপাশি ঐ চল্লিশজোড়া সংখ্যা রাখলেই বলহরি, হরিবল। হোরিব্‌লই বটে (চিত্র ১২)। প্রথমদিকে দুটোর মধ্যে মিল থাকলেও একটু বাদেই দুজনার দুটি পথ পুরো দুটি দিকে বেঁকে গেছে। আগের ঐ কাঠবেড়ালীর সংখ্যাগননাতেও ঠিক একই জিনিস ঘটেছিল।

চিত্র ১২- ক্যালকুলেটারে ক্যাওস

HLV¡ hÉ¡f¡l mre£u ®k B®Nl phLV¡ N®ÒfC Bjl¡ ®L¡®e¡ HLV¡ ÏeÏcÑø Ïeuj ®j®e ®MmÏR- ÏWL ®kje B®Nl h¡®l HLV¡ pwMÉ¡ Ïem¡j a¡l hNÑ Llm¡j HCphz Ïeuj ®j®e pj£Ll®e pwMÉ¡ hÏp®u hÏp®u Bjl¡ HLV¡ NË¡g Hy®LÏRm¡jz HLV¡ a®ml Jf®lJ HlLj NË¡g ByL¡ k¡u, c¤®V¡ pwMÉ¡ Ïe®u ÏLR¤ Ïeuj ®j®e kÏc Bh¡l c¤®V¡ pwMÉ¡ ®h®l¡u a®hz aMe ®k jÉ¡f¬®m¡ ®h®l¡u ®p®m¡ HLV¡ a®ml Jf®l ByL¡ RÏhz ÏhÏiæ Ïh‘¡e£l e¡®j HC jÉ¡f¬®m¡ ®cM®a Apñh p¤¾cl quz HlLj L®uLV¡ RÏh ®cM¡ k¡L (ÏQœ 13, 14, 15)z

চিত্র ১৩ - হেননের ছবি



চিত্র ১৪ - ম্যান্ডেলব্রটের ছবি



চিত্র ১৫ - জুলিয়ার ছবি

®cM®a p¤¾cl qJu¡ R¡s¡J B®l¡ HLV¡ Aá¤a hÉ¡f¡l OV®R HC RÏh¬®m¡®a (®no c¤®V¡ RÏh®a M¤h fÏl×L¡l) - fË®aÉLV¡ RÏhl ®k®L¡eJ Awn®L ®hÔ¡ Bf Ll®m Bh¡l ®pC RÏhV¡C Ïg®l f¡ÏµR - ®hÔ¡ Bf Ll¡ Awn®L Bh¡l ®hÔ¡-Bf Ll®m ®pC HL ®Mmz Hhw OVe¡V¡ Bjl¡ kah¡l Q¡C®h¡ aah¡l q®hz ®ke Ceg¡Ce¡CVÏm mð¡ HLV¡ LÏl®X¡l Ïc®u RÏhl ®ia®l Y¤®L k¡ÏµRz HCi¡®h RÏhl ®ial Bh¡l HLC RÏh My¤®S f¡Ju¡®L h®m ®pÒg ÏpÏjm¡ÏlÏVz
LÉ¡Jp ®cM®a f¡h¡l SeÉ ÏhÏiæ ®m¡®L ÏhÏiæ ®Mme¡ ¯aÏl L®l®Re - Hl HLV¡ M¤h i¡®m¡ ÏmØV B®R gˡϾpp j¤®el hC®az HCM¡®e ®R¡Í L®l ®N¡V¡ c¤®uL pÉ¡®Çfm ÏcϵRz

®Øfp hm (ÏQœ 16) - ®Mme¡V¡®a XmÏge b¡L Bl hmC b¡L, e£®Q ®k L¡®m¡ja ®N¡®ml Jfl ÏSÏepV¡ hp¡®e¡, a¡l j®dÉ B®R HLV¡ jÉ¡N®eÏVL p¡ÏLÑVz Bl Jf®l I hm Bl XmÏg®el j®dÉJ jÉ¡N®eV B®Rz p¡ÏLÑ®V Hjei¡®h L¡®l¾V/®i¡®ÒVS ®cJu¡ q®µR , k¡®a p¡j¡eÉ HÏcL ®b®L JÏcL q®mC hm h¡ XmÏg®el es¡Qs¡ H®Lh¡®l LÉ¡JÏVL q®hz B®N ®b®L hm¡C k¡®h e¡z ÏWL HLC i¡®h I L¡®m¡j®a¡ ®h®pl Jfl Q¡l®V Q¤ðL m¡ÏN®u Jf®l HLV¡ ®fä¤m¡j (p¤®a¡u ®T¡m¡®e¡ Q¤ðL) ®c¡m¡®m ÏLR¤®aC B®Nl ®b®L hm¡ k¡®h e¡ ®k ®pV¡ ®L¡e Q¤ð®Ll Jfl H®p ®c¡m¡ b¡j¡®h (ÏQœ 17)z ÏgEQ¡ÏlÏØVL LÉ¡Ïp®e¡®a HlLj HLV¡ ÏSÏep H®m j¾c q®h e¡z

চিত্র ১৬ - স্পেস বল



চিত্র ১৭ - কোন চুম্বকের ওপরে এসে থামবে?



®mS¤s

®kM¡e ®kM¡e ®b®L HC ®mM¡ ®V¡L¡ q®u®R a¡l a¡ÏmL¡ e£®Q ®cJu¡ q®m¡z

http://www-xray.ast.cam.ac.uk/~jgraham/hypo/h13/chaos.html
http://www.pragmaware.net/blog.php?post=2006.04.05-11.00&display=4
http://library.thinkquest.org/3120/old_htdocs.1/history.html
http://www.zmag.org/ZMag/chaos.htm
http://en.wikipedia.org/wiki/Logistic_map
http://www.arcytech.org/java/population/facts_math.html
http://www.cs.cmu.edu/~waisel/papers/Chaos%20Visualization%20Frameset.htm
http://en.wikipedia.org/wiki/Logistic_map
http://www.ecmwf.int/research/predictability/background/population.html
http://mail.colonial.net/~abeckwith/chaos.html
The Curious Incident of a Dog in the Night-time – Mark Haddon, 2003
http://en.wikipedia.org/wiki/Michel_H%C3%A9non
http://en.wikipedia.org/wiki/Beno%C3%AEt_Mandelbrot
http://en.wikipedia.org/wiki/Gaston_Julia
http://www.mtholyoke.edu/courses/adurfee/fractals/math125-toys.htm
Chaotic and Fractal Dynamics, Francis Moon, 1992